Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiuslarını tərəflərə görə tapmaq

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Sinuslar teoremi», səh. 117
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 123

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxunda üçbucağın tərəfləri, bəzən də hündürlüyü və ya bucağı verilir, daxilə və ya xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu soruşulur. Düzbucaqlı, bərabəryanlı və düzgün üçbucaqlar xüsusilə tez-tez gəlir: katetlərə görə radius, oturacağa endirilən hündürlüyə görə radius, düzgün üçbucağın tərəfinə görə çevrənin uzunluğu. Onuncu sinif materialında radius və bucağın sinusu verilir, qarşıdakı tərəf və ya sinusun özü tapılır. Tərs suallar da olur: radiuslara görə üçbucağın perimetri, sahəsi, hipotenuzu və ya hündürlüyü hesablanır.

Qayda

Daxilə çəkilmiş çevrə: $r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{S}{p}$ , burada $p$ yarımperimetrdir; deməli, $S=rp$ .
Xaricə çəkilmiş çevrə: $R=\frac{abc}{4S}$ , buradan da $S=\frac{abc}{4R}$ .
Sinuslar teoremi: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ .
Düzbucaqlı üçbucaqda $R=\frac{c}{2}$ ( $c$ hipotenuzdur) və $r=\frac{a+b-c}{2}$ .
Tərəfi $a$ olan düzgün üçbucaqda $R=\frac{a\sqrt3}{3}$ , $r=\frac{a\sqrt3}{6}$ , yəni $R=2r$ .
Korbucaqlı üçbucaqda xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzi üçbucaqdan kənarda olur.

Nümunələr

Tərəfləri 5, 5 və 6 olan üçbucağın hər iki radiusunu tap.

Həlli: oturacağa endirilən hündürlük $\sqrt{25-9}=4$ , $S=12$ , $p=8$ . Onda $r=\frac{12}{8}=1{,}5$ və $R=\frac{5\times5\times6}{4\times12}=\frac{25}{8}$ .

Tərəfləri 5, 5 və 6 olan üçbucaqda daxilə çəkilmiş çevrə. Oturacağa perpendikulyar qırıq radius r = 1,5-dir. — Daxilə çəkilmiş çevrə: $r=1{,}5$ .

Tərəfləri 5, 5 və 6 olan üçbucaqda xaricə çəkilmiş çevrə bütün təpələrdən keçir. Qırmızı radius R = 25/8-dir. — Xaricə çəkilmiş çevrə: $R=\frac{25}{8}$ .

Radiusu 5 olan çevrənin daxilinə çəkilmiş üçbucağın bir tərəfi 8-dir. Bu tərəfin qarşısındakı bucağın sinusunu tap.

Həlli: $\sin\alpha=\frac{8}{2\times5}=0{,}8$ . Diqqət: bucağın özü iti də, kor da ola bilər, çünki $\sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)$ .

Katetləri 8 və 15 olan düzbucaqlı üçbucağın radiuslarını tap.

Həlli: hipotenuz $\sqrt{64+225}=17$ , $R=8{,}5$ , $r=\frac{8+15-17}{2}=3$ ; yoxlama: $r=\frac{2\times60}{40}=3$ .

Tipik səhv

Ən çox yayılmış səhv sinuslar teoremindəki nisbətin radiusa yox, diametrə bərabər olduğunu unutmaqdır: $\frac{a}{\sin A}$ hesablandıqdan sonra nəticəni 2-yə bölmək lazımdır. İkinci səhv $r$ düsturunda yarımperimetrlə tam perimetri qarışdırmaqdır: məxrəcdə yarımperimetr varsa, surətdə $S$ , tam perimetr varsa, $2S$ yazılır. Üçüncü tələ korbucaqlı üçbucaqdadır: ən uzun tərəfin yarısını radius saymaq olmaz, bu yalnız düzbucaqlı üçbucaqda doğrudur. Bərabəryanlı üçbucaqda mərkəzin oturacaqdan hansı tərəfdə qaldığını da yoxla: eyni oturacaq və radius üçün biri itibucaqlı, digəri korbucaqlı olan iki üçbucaq alına bilər.