beta

← Geri

Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Kosinuslar teoremi: üçbucağın tərəfini və bucağın kosinusunu tapmaq

Üçbucağın iki tərəfi və onların arasındakı bucaqla üçüncü tərəfi, üç tərəflə isə bucağın kosinusunu və üçbucağın növünü tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masada, ağ kağızın üstündə ayaqları geniş açılmış metal pərgar.

Pərgarı götür və ayaqlarını yavaş-yavaş aç. Ayaqların uzunluğu dəyişmir, amma iki ucun arasındakı məsafə getdikcə böyüyür. Deməli, iki tərəf eyni qalanda üçüncü tərəfi yalnız onların arasındakı bucaq müəyyən edir.

Bucaq düz olanda bu məsafəni Pifaqor teoremi ilə hesablayırsan. Bəs bucaq 40∘40^\circ və ya 130∘130^\circ olsa? Kosinuslar teoremi bu suala cavab verir. Onu Pifaqor teoreminin istənilən üçbucaqda işləyən forması kimi düşünə bilərsən.

Niyə lazımdır

Üçbucağın iki tərəfi və onların arasındakı bucaq, ya da üç tərəfi məlumdursa, onun qalan elementləri də artıq dəyişə bilməz. Kosinuslar teoremi bu elementləri hesablamaq üçün əsas alətdir. Məsələn, paraleloqramın diaqonalı da elə bu yolla tapılır, çünki diaqonal iki qonşu tərəflə üçbucaq əmələ gətirir.

İmtahanda bu düstur çox vaxt başqa addımların içində gizlənir: əvvəl bir bucağın kosinusunu tapırsan, sonra ondan sinusa keçirsən. Düsturu avtomatik yaza bilsən, vaxtın hesablamaya deyil, düşünməyə qalır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzunun tapşırıqlarında çox vaxt üçbucağın iki tərəfi və onların arasında qalan bucaq verilir, üçüncü tərəfi hesablamaq tələb olunur; başqa tapşırıqlarda üç tərəf məlumdur və bucaqlardan birinin kosinusu, sinusu və ya özü soruşulur. Bundan əlavə, təpə bucağı 120∘120^\circ olan bərabəryanlı üçbucaqlar, tərəflər arasındakı hər hansı bərabərlikdən bucağın tapılması, üçbucağın itibucaqlı, düzbucaqlı və ya korbucaqlı olduğunu tərəflərə görə müəyyənləşdirmək, korbucaqlı üçbucağın naməlum tərəfinin ala biləcəyi natural qiymətləri tapmaq kimi suallar da gəlir. Uyğunluq tapşırığında tərəflərin bir neçə variantını bucağın kosinusu, sinusu və üçbucağın növü ilə əlaqələndirmək lazım olur.

Qayda

  • Hər bir üçbucaqda c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C; burada CC bucağı aa və bb tərəfləri arasındadır, cc tərəfi isə onun qarşısındadır. Qalan iki tərəf üçün düstur eyni qayda ilə yazılır.
  • Üç tərəf məlumdursa: cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
  • Xüsusi hallar: C=60∘C=60^\circ olduqda c2=a2+b2−abc^2=a^2+b^2-ab, C=120∘C=120^\circ olduqda c2=a2+b2+abc^2=a^2+b^2+ab, C=90∘C=90^\circ olduqda Pifaqor teoremi alınır.
  • Bucağın növü: c2<a2+b2c^2<a^2+b^2 olarsa CC iti, c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 olarsa düz, c2>a2+b2c^2>a^2+b^2 olarsa kor bucaqdır. Üçbucağın növünü ən böyük tərəfin qarşısındakı bucaq müəyyən edir.
  • Kosinus tapıldıqdan sonra sin⁡C=1−cos⁡2C\sin C=\sqrt{1-\cos^2 C}; üçbucağın bucağının sinusu həmişə müsbətdir.
Bucağın növü
MüqayisəCC bucağı
c2<a2+b2c^2<a^2+b^2İti
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2Düz
c2>a2+b2c^2>a^2+b^2Kor

Bucağı dəyiş, tərəfə bax

aa və bb tərəflərini, onların arasındakı CC bucağını dəyiş. Qarşı tərəf cc dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

1

Üçbucağın iki tərəfi 5 və 3, onların arasındakı bucaq 120∘120^\circ-dir. Üçüncü tərəfi tap.

Həllə bax

Həlli: x2=25+9+15=49x^2=25+9+15=49, x=7x=7.

İki tərəfi 5 və 3, aralarındakı bucaq 120° olan üçbucaq: bucağın qarşısındakı üçüncü tərəf 7-dir.
120∘120^\circ bucağının qarşısındakı tərəf: x=7x=7
2

Tərəfləri 7, 8 və 9 olan üçbucağın ən kiçik bucağının kosinusunu tap.

Həllə bax

Həlli: ən kiçik bucaq 7-nin qarşısındadır: cos⁡φ=64+81−492×8×9=96144=23\cos\varphi=\frac{64+81-49}{2\times8\times9}=\frac{96}{144}=\frac{2}{3}.

3

Tərəfləri 4, 6 və 8 olan üçbucağın növünü müəyyən et.

Həllə bax

Həlli: 82=64>42+62=528^2=64>4^2+6^2=52, deməli ən böyük bucaq kordur və üçbucaq korbucaqlıdır.

4
Qayıq körpüdən düz xətt üzrə 8 km üzür, sonra hərəkət istiqamətini 60∘60^\circ dəyişib daha 7 km üzür. Qayıq körpüdən nə qədər uzaqdadır?
Həllə bax
  1. İstiqamət 60∘60^\circ dəyişibsə, yolun iki hissəsi arasındakı daxili bucaq 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ olur.
  2. Bu bucaq 8 km və 7 km-lik hissələrin arasındadır. Axtarılan dd məsafəsi isə onun qarşısındadır.
  3. 120∘120^\circ üçün: d2=82+72+8×7=64+49+56=169d^2=8^2+7^2+8\times7=64+49+56=169.
  4. d=169=13d=\sqrt{169}=13.

13 km

Tipik səhv

C=120∘C=120^\circ, a=5a=5, b=3b=3: c2=52+32−5×3=19c^2=5^2+3^2-5\times3=19, c=19c=\sqrt{19}

c2=52+32−2×5×3×(−12)=25+9+15=49c^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times\left(-\frac{1}{2}\right)=25+9+15=49, c=7c=7

Kor bucağın kosinusu mənfidir, ona görə 120∘120^\circ olduqda −2abcos⁡C-2ab\cos C ifadəsi müsbət olur, yəni abab hasili toplanır. 22 vuruğunu yaddan çıxarma və kosinusdan sinusa keçəndə mənfi işarəli cavab yazma.

Ən çox rast gəlinən səhv bucağı yanlış tərəflə əlaqələndirməkdir: düsturda kosinusu götürülən bucaq həmişə axtarılan tərəfin qarşısında olmalıdır. Hərəkət istiqamətinin dəyişdiyi məsələlərdə dönmə bucağını üçbucağın daxili bucağı ilə qarışdırma: istiqamət 60∘60^\circ dəyişibsə, üçbucaqdakı bucaq 120∘120^\circ-dir.

Özünü yoxla

Üçbucaqda a=4a=4, b=7b=7 və bu tərəflər arasındakı bucaq C=60∘C=60^\circ-dir. CC bucağının qarşısındakı cc tərəfini tap.

Üçbucaqda a=5a=5, b=6b=6, c=7c=7-dir. cc tərəfinin qarşısındakı CC bucağının kosinusunu tap.

Tərəfləri 66, 88 və 99 olan üçbucağın növünü müəyyən et.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kosinuslar teoremi», səh. 126