Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Pifaqor teoremi: qayda, düsturlar və nümunələr

Düz bucağı tərəflərlə yoxlamağı, çatışmayan uzunluğu və kvadratın diaqonalını tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumağa 4 dəqiqə ayır.

Kərpic bünövrənin küncündə üç taxta paya arasında üçbucaq şəklində gərilmiş düyünlü ip; yaxınlıqda sarı su tərəzisi, üst-üstə yığılmış kərpiclər, mala və qum görünür.

Tikintidə küncün düz bucaq olduğunu yoxlamaq istəyirsən, amma yanında çertyoj üçbucağı yoxdur. İp köməyinə çata bilər. Bunun üçün sadəcə üçbucaq formasında ip çəkmək kifayət etmir: tərəflərin uzunluqları arasında xüsusi əlaqə olmalıdır.

Qapalı ipdə düyünlərlə $12$ bərabər aralıq ayır. İpi üç paya arasında elə gər ki, düz tərəflər boyunca $3$ , $4$ və $5$ aralıq alınsın. Bu ölçülərlə qısa iki tərəfin arasındakı bucaq düz olacaq. Ölçünü dəqiq götür, ipi boş saxlama: düyünlər özləri ölçmə səhvini düzəltmir.

Bəs niyə məhz bu ədədlər? Çünki $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ . Tərəflərdən bucağa gəldiyin üçün burada Pifaqor teoreminin tərsindən istifadə edirsən. Teoremin özü isə düz bucağı bildiyin vaxt tərəfi hesablamağa kömək edir.

Niyə lazımdır

İpdə bucağı yoxladın, kağızda isə uzunluğu tapa bilərsən. Kvadratın qarşı künclərini birləşdirən diaqonal onu iki düzbucaqlı üçbucağa ayırır. Trapesiyada da hündürlük çəkib belə bir üçbucaq ayırmaq mümkündür. Şəklin içində düz bucağı görəndə hesablamanın haradan başlayacağı aydınlaşır.

Katetlərin nisbəti veriləndə onları, məsələn, $3k$ və $4k$ yazıb hipotenuzu $5k$ tapa bilərsən; perimetr də verilibsə, $k$ hesablanır. Əsas məsələ düsturu yazmazdan əvvəl hansı tərəfi axtardığını müəyyənləşdirməkdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsas tapşırıq düzbucaqlı üçbucağın naməlum tərəfini tapmaqdır. Tərəflərin nisbəti və perimetr verilib hipotenuzu hesablamaq, kvadratın diaqonalını tapmaq, trapesiyanı düzbucaqlı üçbucağa və paraleloqrama bölüb perimetri tapmaq kimi məsələlər olur. Cavab variantları arasında ən çox yayılmış səhvin nəticəsi də yer alır.

Qayda

Düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəf hipotenuz ( $c$ ), qalan iki tərəf katetlərdir ( $a$ və $b$ ). Aralarında bu bərabərlik ödənir: $c^2=a^2+b^2$ .
Katet lazım olduqda: $a=\sqrt{c^2-b^2}$ .
Pifaqor teoreminin tərsi: üçbucağın ən böyük tərəfinin kvadratı o biri iki tərəfin kvadratları cəminə bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Kvadrat cəmdən kiçikdirsə, üçbucaq itibucaqlı, böyükdürsə, korbucaqlıdır.
Pifaqor üçlükləri: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ və $7, 24, 25$ . Üçlüyün hər üzvünü eyni natural ədədə vursan, yenə üçlük alınır.
Tərəfi $a$ olan kvadratın diaqonalı $a\sqrt{2}$ -dir.

Mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

c^2=a^2+b^2

Düzbucaqlı üçbucaq: katetləri a və b, hipotenuzu c.

2 tapşırıqda işlənib

$a$ və $b$ katetlər, $c$ hipotenuzdur. Tapşırıqda $a=4k$ , $c=5k$ götürülür, ikinci katet $b=\sqrt{c^2-a^2}=3k$ çıxır və perimetr $12k$ olur.

$a$ və $b$ düzbucaqlı üçbucağın katetləri, $c$ isə hipotenuzudur. Burada $EC=6$ və $CD=8$ katetdir, $ED$ hipotenuzdur, ona görə $ED^2=6^2+8^2$ .

Öyrənilməli düstur

P=3a,\quad b=P:4,\quad d^2=b^2+b^2\ \Rightarrow\ d=b\sqrt{2}

Solda tərəfi a olan bərabərtərəfli üçbucaq, sağda tərəfi b və diaqonalı d olan kvadrat.

Bərabərtərəfli üçbucağın perimetri tərəfin üç mislidir, kvadratın tərəfi $b$ isə perimetrin dörddə biridir. Diaqonal kvadratı iki bərabər düzbucaqlı üçbucağa böldüyündən Pifaqor teoremindən $d=b\sqrt{2}$ alınır.

Katetləri dəyiş, kvadratlara bax

Tutacaqları sürüşdür və ya sürgülərlə katetləri dəyiş. Hər tərəf üzərindəki kvadratın sahəsinə baxıb hesablamanı izlə.

a

katetinin uzunluğu3

b

katetinin uzunluğu4

Nümunələr

Katetləri

9

sm və

40

sm olan üçbucağın hipotenuzunu tap.

Həllə bax

Həlli: $c^2=81+1600=1681$ , deməli, $c=41$ sm.

Hipotenuzu $26$ sm, bir kateti $10$ sm olan üçbucağın o biri katetini tap.

Həllə bax

Həlli: $b^2=676-100=576$ , buradan $b=24$ sm. Yoxlama: $5,12,13$ üçlüyünü $2$ dəfə böyütsək $10,24,26$ alınır.

Düzbucaqlı trapesiyanın oturacaqları $7$ sm və $16$ sm, hündürlüyü $12$ sm-dir. Perimetrini tap.

Həllə bax

Həlli: maili yan tərəfin yaratdığı düzbucaqlı üçbucağın bir kateti $16-7=9$ , o biri $12$ -dir. Hipotenuz $\sqrt{81+144}=15$ sm olur. Perimetr $7+16+12+15=50$ sm-dir.

Düzbucaqlı trapesiya: oturacaqlar 7 və 16, hündürlük 12; ayrılan üçbucağın katetləri 9 və 12, hipotenuzu 15.

Tipik səhv

Hipotenuz $13$ sm, bir katet $5$ sm olduqda: $a^2=13^2+5^2=194$ .

$a^2=13^2-5^2=144$ , deməli, $a=12$ sm.

Əvvəlcə düz bucağı göstər, onun qarşısındakı tərəfi $c$ kimi işarələ: hipotenuz axtarılanda kvadratlar toplanır, katet axtarılanda hipotenuzun kvadratından məlum katetin kvadratı çıxılır: $a^2=c^2-b^2$ .

İkinci tez-tez rast gəlinən səhv kök almağı unutmaqdır: $c^2=625$ alındıqdan sonra cavab $625$ yox, $25$ olmalıdır; Pifaqor teoreminin tərsini tətbiq edəndə də ən böyük tərəfi seç və onun kvadratını o biri iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə et, məsələn, $5, 6, 8$ üçün $8^2$ ilə $5^2+6^2$ müqayisə olunur.

3^2+4^2=5^2

: düz bucaq

3

və

4

aralıqlı tərəflərin arasındadır.

İndi hesabı sən apar

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz $34$ sm, katetlərdən biri $16$ sm-dir. Digər kateti tap.

Tərəfi $7$ sm olan kvadratın diaqonalı nə qədərdir?

Tərəfləri $6$ sm, $8$ sm və $11$ sm olan üçbucaq bucaqlarına görə hansı növdür?

Mövzu sınağında özünü yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını cavablandır, nəticəni izahlarla birlikdə gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Pifaqor teoremi», səh. 97
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.2 «Pifaqor teoreminin bəzi tətbiqləri», səh. 102