Düzbucaqlı üçbucaqda triqonometrik nisbətlər: sin, cos və tan

Niyə lazımdır

Bu nisbətlər bucaqla uzunluğu bir-birinə bağlayır. Pifaqor teoremi üçün iki tərəfi bilmək lazımdır. Triqonometrik nisbət isə bir tərəf və bir iti bucaq verildikdə də işləyir. Nərdivanın divarın hansı hündürlüyünə çatdığını, maili yolun nə qədər qalxdığını, damın hündürlüyünü belə hesablayırlar.

İmtahanda bu mövzu tez-tez başqa mövzuların içində çıxır: trapesiyada, rombda, bərabəryanlı üçbucaqda hündürlük çəkən kimi qarşına düzbucaqlı üçbucaq çıxır. Sonrakı siniflərin triqonometriyası da bu üç nisbətdən başlayır. Ona görə bu mövzunu indi yaxşı mənimsəsən, sonra işin xeyli asan olacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qayda

Aşağıdakı düsturlar düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı üçün yazılır, ona görə şəkildə əvvəlcə düz bucağı tap. Hipotenuz düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəfdir.

• İti bucağın sinusu qarşı katetin hipotenuza nisbətidir: $\sin A=\frac{\text{qarşı katet}}{\text{hipotenuz}}$.
• İti bucağın kosinusu bitişik katetin hipotenuza nisbətidir: $\cos A=\frac{\text{bitişik katet}}{\text{hipotenuz}}$.
• İti bucağın tangensi qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir: $\tan A=\frac{\text{qarşı katet}}{\text{bitişik katet}}=\frac{\sin A}{\cos A}$.
• Qarşı və bitişik katet hər bucaq üçün ayrıca seçilir. Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları $\alpha$ və $\beta$ olarsa, $\sin\alpha=\cos\beta$, çünki $\beta=90^\circ-\alpha$.
• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (əsas triqonometrik eynilik). İti bucağın sinusu və kosinusu 1-dən kiçikdir, çünki katet hipotenuzdan qısadır.
• Xüsusi bucaqlar: $\sin30^\circ=\frac12$, $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$; $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\tan45^\circ=1$; $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$, $\tan60^\circ=\sqrt3$.

  Xüsusi bucaqların qiymətləri

  $\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
  $\sin\alpha$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$
  $\cos\alpha$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$
  $\tan\alpha$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

$$\begin{gathered}\sin A=\frac{\text{qarşı katet}}{\text{hipotenuz}}\\[6pt] \cos A=\frac{\text{bitişik katet}}{\text{hipotenuz}}\\[6pt] \tan A=\frac{\text{qarşı katet}}{\text{bitişik katet}}\end{gathered}$$

Bucağın qarşısındakı və ona bitişik katet hər bucaq üçün ayrıca müəyyən edilir.

Öyrənilməli düstur

$$\begin{gathered}\tan B=\frac{b}{a}\\[6pt]c=\sqrt{a^2+b^2}\end{gathered}$$

$C$ düz bucaqdır: $a=BC$ və $b=AC$ katetlərdir, $c=AB$ hipotenuzdur. $B$ bucağının qarşısındakı katet $AC$ olduğundan tangensdən $BC$ tapılır, sonra hipotenuz hesablanır.

Öyrənilməli düstur

$$\sin A=\frac{a}{c}$$

Düzbucaqlı üçbucaqda iti $A$ bucağının sinusu onun qarşısındakı $a$ katetinin $c$ hipotenuza nisbətidir. Bərabəryanlı üçbucaqda hündürlüyü çəkib düzbucaqlı üçbucaq alırsan.

Öyrənilməli düstur

$$\tan\alpha=\frac{a}{b},\quad a^2+b^2=c^2$$

$a$ iti $\alpha$ bucağının qarşısındakı, $b$ isə bitişik katet, $c$ hipotenuzdur. Burada $\angle B=\angle ACH$ olduğundan $\tan B$ kiçik düzbucaqlı üçbucaqda $\frac{AH}{CH}$ kimi tapılır.

Öyrənilməli düstur

$$\tan A=\frac{a}{b},\quad c^2=a^2+b^2$$

$a$ $A$ bucağının qarşısındakı, $b$ isə bitişik katetdir, $c$ hipotenuzdur. Katetləri $a=5k$, $b=12k$ götür, $k$-nı hipotenuzdan tap.

Öyrənilməli düstur

$$\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusu qarşısındakı $a$ katetinin $c$ hipotenuza nisbətidir, $b$ isə ikinci katetdir. Burada naməlum katet Pifaqor teoremi ilə tapılır.

Nümunələr

1

$\angle C=90^\circ$, $AC=8$, $BC=15$, $AB=17$. $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$ nisbətlərini tap.

Həllə bax

$A$ bucağının qarşısında $BC=15$, ona bitişik katet $AC=8$-dir. Onda $\sin A=\frac{15}{17}$, $\cos A=\frac{8}{17}$, $\tan A=\frac{15}{8}$. Yoxlama: $\sin^2A+\cos^2A=\frac{225+64}{289}=1$.

Tipik səhv

Şagirdlər qarşı və bitişik katetləri bucaqdan asılı olmayaraq eyni sıra ilə götürürlər. Eyni səhv sinusu da kosinusla qarışdırır. Düzgün qayda belədir: əvvəlcə bucağı seç, sonra onun qarşısındakı katetə və ona bitişik katetə bax.

$\frac{8}{15}$ isə $B$ bucağının tangensidir.

Özünü yoxla

• RiyaziyyatMedian və tənbölənin xassəsiTapşırıqlarda üçbucağın medianı və ya tənböləni çəkilir, ondan hansısa parçanın uzunluğunu, tərəfi və ya…
• RiyaziyyatÜçbucaqların konqruyentlik əlamətləriİmtahanda konqruyent üçbucaqların uyğun tərəflərini müəyyənləşdirmək, naməlum uzunluğu və ya bucağı…
• RiyaziyyatBərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucaqTapşırıqlarda bərabəryanlı və ya bərabərtərəfli üçbucağın bucaqları, tərəfləri və ya perimetri tapılır.
• RiyaziyyatPifaqor teoremiƏsas tapşırıq düzbucaqlı üçbucağın naməlum tərəfini tapmaqdır.