Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Median və tənbölənin xassəsi: üçbucaqda parçaları necə tapmaq

Medianı ağırlıq mərkəzi ilə, qarşı tərəfi isə tənbölənlə bölüb lazım olan parçanı tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: karton üçbucaq stolun üstündə dik duran qələmin ucunda tarazlıqda dayanır.

Kartondan üçbucaq kəs və onu dik tutulmuş qələmin ucunda saxlamağa çalış. Çox nöqtədə üçbucaq dərhal yana aşacaq. Amma elə bir nöqtə var ki, karton orada düz dayanır. Bu, üç medianın kəsişdiyi nöqtədir. Adı da elə buradan gəlir: ağırlıq mərkəzi.

Tənbölənin işi başqadır. O, bucağı iki bərabər hissəyə ayırır, amma qarşı tərəfi adətən yarıya bölmür. Tərəfin hansı hissəsinin uzun olacağını qonşu iki tərəf müəyyən edir. Bunu bilsən, cəmi bir nisbətlə tapşırığın yarısı həll olunur.

Niyə lazımdır

Bu iki xassə uzun hesablamanı bir sətrə endirir. Medianın bir parçası məlumdursa, qalan iki uzunluq dərhal çıxır. Tənbölənin xassəsi isə tərəfi bucaq ölçmədən, yalnız nisbətlə bölməyə imkan verir.

İmtahanda median ilə tənbölən çox vaxt eyni üçbucaqda olur, 3-cü nümunədəki kimi. Ona görə hər birinin nə etdiyini qarışdırmamaq lazımdır: median tərəfi yarıya bölür, tənbölən isə tərəflərin nisbətində.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda üçbucağın medianı və ya tənböləni çəkilir, ondan hansısa parçanın uzunluğunu, tərəfi və ya sahəni tapmaq tələb olunur. Median verildikdə ağırlıq mərkəzinin onu necə böldüyü işlənir. Tənbölən verildikdə tərəfin ayrılan parçalarının nisbəti tapılır. Düzbucaqlı üçbucaqda tənbölən ilə sahə tapmaq tapşırığı da gəlir.

Qayda

Median üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirən parçadır. Tənbölən isə təpə bucağını iki bərabər hissəyə ayırıb qarşı tərəfə çatan parçadır.
Üçbucağın üç medianı bir nöqtədə kəsişir, bu nöqtə ağırlıq mərkəzi adlanır. Ağırlıq mərkəzi hər medianı təpədən başlayaraq $2:1$ nisbətində bölür: $AG:GN=2:1$ , yəni $AG=\frac23\,AN$ , $GN=\frac13\,AN$ .
Üçbucağın tənböləninin xassəsi: tənbölən qarşı tərəfi qalan iki tərəflə mütənasib parçalara ayırır. $CD$ tənbölən olduqda $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$ .
Bucağın tənböləni üzərindəki nöqtə bucağın tərəflərindən eyni məsafədədir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

ABC üçbucağında AD tənböləni D nöqtəsində BC tərəfini kəsir.

$AD$ tənbölən olduqda $D$ nöqtəsi $BC$ tərəfini $AB$ və $AC$ tərəflərinin nisbətində bölür. Burada bu nisbətdən $AC\times DB=CD\times AB$ alınır, $ABD$ üçbucağının sahəsi isə $\frac{1}{2}\times DB\times AC$ olur.

Özün hesabla

Ədədi yaz və yoxla. Median üçün nisbəti təpədən saymağı unutma.

Nümunələr

AN

və

CM

medianları

G

nöqtəsində kəsişir,

AG=14

sm.

GN

və

AN

parçalarını tap.

Həllə bax

$AG:GN=2:1$ olduğundan $GN=14:2=7$ sm. $AN=14+7=21$ sm. Yoxlama: $AG=\frac23\times21=14$ sm.

Median təpədən 2:1 nisbətində bölünür
Parça	Pay	Uzunluq
$AG$	$2$ hissə	$14$ sm
$GN$	$1$ hissə	$7$ sm
$AN$	$3$ hissə	$21$ sm

$ABC$ üçbucağında $AC=12$ sm, $BC=18$ sm, $AB=20$ sm, $CD$ tənbölən ( $D$ nöqtəsi $AB$ üzərindədir). $AD$ və $DB$ parçalarını tap.

Həllə bax

$\frac{AD}{DB}=\frac{12}{18}=\frac23$ , $AD+DB=20$ . Deməli, $AD=20\times\frac25=8$ sm, $DB=12$ sm. Yoxlama: $8:12=2:3$ .

ABC üçbucağında AC = 12 sm, BC = 18 sm. CD tənböləni AB = 20 sm tərəfini AD = 8 sm və DB = 12 sm hissələrinə ayırır.

$PQR$ üçbucağında $PM$ median və $PS$ tənböləndir. $PQ=18$ sm, $PR=30$ sm, $QR=32$ sm olduqda $MS$ uzunluğunu tap.

Həllə bax

Tənbölənin xassəsindən $QS:SR=3:5$ , $QS=32\times\frac38=12$ sm. Medianın tərifindən $QM=32:2=16$ sm. $QS<QM$ olduğundan $S$ nöqtəsi $Q$ ilə $M$ arasındadır. Deməli, $MS=16-12=4$ sm. Yoxlama: $SR=20$ sm, $12:20=3:5$ .

Tipik səhv

$AG=14$ sm, deməli, $GN=2\times14=28$ sm.

$AG:GN=2:1$ , deməli, $GN=14:2=7$ sm, $AN=14+7=21$ sm.

Şagird ağırlıq mərkəzini təpəyə yaxın sayır və $2:1$ nisbətini tərsinə götürür, yəni təpəyə yaxın parçanı kiçik hesab edir. Halbuki $GN$ medianın üçdə biridir.

Nisbəti həmişə təpədən say: təpəyə qədər olan parça iki hissə, orta nöqtəyə qədər olan parça bir hissədir. Deməli, təpə tərəfdəki parça böyükdür.

Özünü yoxla

$AN$ medianı üzərindəki $G$ nöqtəsi üçbucağın ağırlıq mərkəzidir. $AG-GN=6$ sm olarsa, $AN$ uzunluğunu tap.

$ABC$ üçbucağında $CD$ tənböləndir və $D$ nöqtəsi $AB$ tərəfi üzərindədir. $AC=12$ sm, $BC=8$ sm və $AD=6$ sm olarsa, $DB$ uzunluğunu tap.

Bucağın tənböləni üzərindəki $P$ nöqtəsindən bucağın bir tərəfinə çəkilən perpendikulyarın uzunluğu $4$ sm-dir. $P$ nöqtəsindən bucağın digər tərəfinə qədər məsafəni tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Üçbucaqların oxşarlığının bəzi tətbiqləri», səh. 52
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.5 «Üçbucağın orta xəttinin və medianlarının xassələri», səh. 122