Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük: üç oxşar üçbucaq

Hipotenuzun iki parçasını bilirsənsə, hündürlüyü, katetləri və sahəni tapa biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə rəngli kağızdan kəsilmiş üçbucaqlar, qayçı və xətkeş.

Kağızdan düzbucaqlı üçbucaq kəs. İndi onu düz bucağın təpəsindən hipotenuza perpendikulyar xətt boyunca bir də kəs. Əlində iki parça qalacaq və hər biri böyük üçbucağın kiçik surətidir: bucaqları eynidir, sadəcə ölçüləri fərqlidir.

Üç eyni formalı üçbucaq varsa, onların tərəfləri mütənasibdir. Bu isə çox iş görür: hipotenuzun iki parçasını bil, hündürlüyü, hər iki kateti və sahəni sənə bu parçalar özləri deyəcək. Necə deyəcəyi isə aşağıdakı bir neçə qısa düsturdadır.

Niyə lazımdır

Bu qaydalar uzun tənliklər sistemini bir vurmaya və bir kvadrat kökə çevirir. Pifaqor teoremi ilə iki naməlum üçün tənlik qurmaq əvəzinə $CD^2=AD\times DB$ yazırsan və cavab bir sətirdə çıxır.

İmtahanda vaxt az olur, bu sürət isə işinə yarayır. Üstəlik, cavabı Pifaqor teoremi ilə yoxlamaq asandır: katetləri tap, kvadratlarının cəmi hipotenuzun kvadratına bərabər olmalıdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən hipotenuza hündürlük çəkilir, hündürlüyün, katetin, hipotenuzun və ya onun parçalarının uzunluğu tapılır. Çox vaxt üçbucaq gizlənir: düzbucaqlının diaqonalına bir təpədən endirilmiş perpendikulyar, rombun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən tərəfə endirilmiş perpendikulyar və ya ortaq ucdan çıxan iki perpendikulyar parçanın digər uclarını birləşdirdikdə belə düzbucaqlı üçbucaq alınır. Axırda çox vaxt sahə hesablanır.

Qayda

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $AD$ və $DB$ katetlərin hipotenuz üzərindəki proyeksiyalarıdır, $AB=AD+DB$ .

Düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü haqqında teorem: hündürlük üçbucağı iki üçbucağa ayırır, bunlar bir-birinə və $ABC$ üçbucağına oxşardır.
Hündürlük proyeksiyalar arasında orta mütənasibdir: $CD^2=AD\times DB$ .
Katet hipotenuz və bu katetin proyeksiyası arasında orta mütənasibdir: $AC^2=AD\times AB$ , $BC^2=DB\times AB$ .
Üçbucağın sahəsini hipotenuz və ona çəkilmiş hündürlüklə də yazmaq olar: $S=\frac12\times AB\times CD$ . Bu, iki katetlə yazılmış $S=\frac12\times AC\times BC$ ifadəsinə bərabərdir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

h^2=p\times q

Düzbucaqlı üçbucaq: hipotenuza çəkilmiş hündürlük h hipotenuzu p və q parçalarına bölür.

2 tapşırıqda işlənib

$h$ düz bucağın təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük, $p$ və $q$ isə onun hipotenuzdan ayırdığı parçalardır. Burada $p$ və $q$ yerinə $AO$ və $BO$ yazılır; tapılan sıfırların ədədi ortası parabolanın təpəsinin absisidir.

$h$ düz bucaq təpəsindən hipotenuza çəkilmiş hündürlük, $p$ və $q$ isə onun hipotenuzdan ayırdığı parçalardır. Burada $p=AM$ , $q=MC$ ; düzbucaqlının sahəsi $ABC$ üçbucağının sahəsinin iki mislidir.

Öyrənilməli düstur

h^2=a_1\times a_2

Düzbucaqlı üçbucaq: hipotenuza çəkilmiş hündürlük h hipotenuzu a1 və a2 parçalarına bölür.

$h$ düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın təpəsindən hipotenuza endirilmiş hündürlük, $a_1$ və $a_2$ isə onun hipotenuzdan ayırdığı parçalardır. Burada $AOB$ üçbucağında $OH^2=AH\times HB$ olur.

Parçaları dəyiş, qalanına bax

Hündürlüyün hipotenuzdan ayırdığı $AD$ və $DB$ parçalarını seç. Hündürlük, katetlər və sahə dərhal yenidən hesablanacaq.

Nümunələr

Hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu 4 sm və 9 sm parçalara ayırır. Hündürlüyü,

AC

katetini (

AD=4

) və üçbucağın sahəsini tap.

Həllə bax

$CD^2=4\times9=36$ , $CD=6$ sm. $AB=4+9=13$ sm, $AC^2=4\times13=52$ , $AC=2\sqrt{13}$ sm. Üçbucağın sahəsi $\frac12\times13\times6=39$ sm $^2$ -dir.

ABC düzbucaqlı üçbucağı: CD hündürlükdür, AD = 4, DB = 9, CD = 6.

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərindən biri 12 sm, hipotenuzu 20 sm-dir. Bu katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyasını tap.

Həllə bax

$12^2=20\times x$ olduğundan $x=144:20=7{,}2$ sm.

Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlük 12 sm-dir və hipotenuzu bölən parçalardan biri 9 sm-dir. Hipotenuzu tap.

Həllə bax

İkinci parça $y$ olsun: $12^2=9y$ , $y=16$ sm. Hipotenuz $9+16=25$ sm. Yoxlama: katetlər $\sqrt{9\times25}=15$ və $\sqrt{16\times25}=20$ , $15^2+20^2=625=25^2$ .

Düzbucaqlı üçbucağın katetləri

AC=6

sm və

BC=8

sm-dir. Hipotenuza çəkilmiş

CD

hündürlüyünü və katetlərin proyeksiyalarını tap.

Həllə bax

Hipotenuz: $AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ sm.
Sahəni katetlərlə yaz: $S=\frac12\times6\times8=24$ sm $^2$ .
Eyni sahəni hipotenuz və hündürlüklə yaz: $\frac12\times10\times CD=24$ , buradan $CD=4{,}8$ sm.
Proyeksiyalar: $AD=6^2:10=3{,}6$ sm, $DB=8^2:10=6{,}4$ sm.
Yoxlama: $3{,}6+6{,}4=10$ və $3{,}6\times6{,}4=23{,}04=4{,}8^2$ .

$CD=4{,}8$ sm, $AD=3{,}6$ sm, $DB=6{,}4$ sm.

Tipik səhv

Katet 12 sm, hipotenuz 20 sm: $12^2=x\times(20-x)$

$12^2=20\times x$ , buradan $x=7{,}2$ sm

Şagirdlər katetin kvadratını hipotenuzun iki parçasının hasilinə bərabər yazırlar, halbuki $7{,}2\times12{,}8=92{,}16$ ədədi $144$ deyil: bu hasil hündürlüyün kvadratıdır.

Katetin kvadratı üçün hasilin vuruqlarından biri bütün hipotenuzdur, digəri isə həmin katetin proyeksiyasıdır.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $BC$ kateti üçün düzgün bərabərliyi seç.

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $CD=8$ sm və $AD=2$ sm olarsa, $AB$ hipotenuzunu tap.

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu $8$ sm və $18$ sm uzunluğunda parçalara ayırır. Üçbucağın sahəsini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Düzbucaqlı üçbucaqda metrik münasibətlər», səh. 106