Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Düzbucaqlı üçbucaqda metrik münasibətlər: katet və hündürlük

Katet, hündürlük və hipotenuzun iki parçasından ikisini bilirsənsə, qalan uzunluqları metrik münasibətlərdən istifadə edərək tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masa üzərində diaqonal boyunca iki üçbucağa kəsilmiş ağ vərəq və yanında qayçı.

Düzbucaqlı bir vərəq götür və onu diaqonal boyunca kəs. Əlində düzbucaqlı üçbucaq qalır. İndi onu elə qatla ki, hipotenuz öz üstünə düşsün, qat xətti isə düz bucağın təpəsindən keçsin. Bu qat xətti hipotenuza perpendikulyardır, yəni hündürlükdür.

Qat boyunca kəssən, iki kiçik üçbucaq alacaqsan. Maraqlısı budur ki, hər ikisi böyük üçbucağın kiçildilmiş surətidir: bucaqları tam eynidir. Bir vərəqdən eyni formada, amma fərqli ölçüdə üç üçbucaq çıxdı.

Eyni formalı üçbucaqlarda tərəflər mütənasibdir. Bu mövzunun bütün düsturları elə bu sadə faktdan çıxır.

Niyə lazımdır

Bu münasibətlər Pifaqor teoreminin yaxşı yoldaşıdır. Pifaqor üç tərəfi bağlayır, amma hündürlüyə və hipotenuzun parçalarına toxunmur. Burada isə hündürlüyü və kateti uyğun iki uzunluğun hasilinin kvadrat kökü kimi tapırsan. Proyeksiya üçün isə katetin kvadratını hipotenuza bölürsən: $AD=\dfrac{AC^2}{AB}$ .

İmtahanda bu, uzun tənlik sistemi əvəzinə iki-üç sətirlik həll deməkdir. Əsas iş şəkildə hipotenuza endirilmiş hündürlüyü görmək və hansı parçanın hansı katetin proyeksiyası olduğunu düzgün seçməkdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxu trapesiya ilə bağlıdır: diaqonal yan tərəfə və ya digər diaqonala perpendikulyar verilir, oturacaqlar və ya yan tərəf məlum olur, trapesiyanın və ya paraleloqramın sahəsi tapılmalıdır. Həlldə düz bucaqdan hipotenuza endirilmiş hündürlük çəkilir və oxşar üçbucaqlardan alınan münasibətlərdən istifadə olunur.

Qayda

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ isə hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $AD$ parçası $AC$ katetinin, $DB$ parçası $BC$ katetinin hipotenuz üzərindəki proyeksiyasıdır və $AD+DB=AB$ .
Katet hipotenuzla öz proyeksiyası arasında orta mütənasib parçadır (həndəsi ortadır): $AC^2=AD\times AB$ və $BC^2=DB\times AB$ .
Hündürlük iki proyeksiya arasında orta mütənasibdir: $CD^2=AD\times DB$ .
Səbəb: $\triangle ADC\sim\triangle ACB$ üçbucaqlarında $A$ bucağı ortaqdır, düz bucaqlar da bərabərdir, buna görə $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^2=c\times a_c\\[6pt] h=\frac{a\times b}{c}\end{gathered}

Düzbucaqlı üçbucaq: katetləri a və b, hipotenuzu c, a katetinin proyeksiyası ac, hündürlük h.

$a$ və $b$ düzbucaqlı üçbucağın katetləri, $c$ hipotenuz, $a_c$ isə $a$ katetinin hipotenuza proyeksiyası, $h$ hipotenuza endirilmiş hündürlükdür. Bu bərabərliklərdən $CH$ hündürlüyü və $HD$ proyeksiyası tapılır, ondan sonra böyük oturacaqdan $BC$ ayrılır.

Öyrənilməli düstur

b^2=b_1\times c

Düzbucaqlı üçbucaq: katet b, hipotenuz c, b katetinin hipotenuz üzərindəki proyeksiyası b1.

$b$ katet, $c$ hipotenuz, $b_1$ isə həmin katetin hipotenuz üzərindəki proyeksiyasıdır. Burada $AB^2=AH\times AD$ tənliyindən $AD$ -ni tap, sonra trapesiyanın sahəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^2=c\times a_c\\[6pt] h^2=a_c\times b_c\end{gathered}

Düzbucaqlı üçbucaq: katet a, hipotenuz c, katetlərin proyeksiyaları ac və bc, hündürlük h.

$a$ katet, $c$ hipotenuz, $a_c$ və $b_c$ katetlərin hipotenuz üzərindəki proyeksiyaları, $h$ isə hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. Bu tapşırıqda $BD$ katetdir, $HD$ onun proyeksiyası, $BH$ isə hündürlükdür.

Katetləri dəyiş, qalanına bax

$AC$ və $BC$ katetlərini sürüşdür. Səhifə hipotenuzu, iki proyeksiyanı və hündürlüyü dərhal hesablayır.

Nümunələr

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 20 sm, katetlərdən biri 12 sm-dir. Bu katetin proyeksiyasını və ikinci katetin uzunluğunu tap.

Həllə bax

12^2=x\times 20

olduğundan

x=\dfrac{144}{20}=7{,}2

sm. İkinci proyeksiya

20-7{,}2=12{,}8

sm-dir, ikinci katet isə

\sqrt{12{,}8\times 20}=\sqrt{256}=16

sm olur. Yoxlama:

12^2+16^2=400=20^2

Hündürlük hipotenuzu $9:16$ nisbətində bölür, hipotenuz 50 sm-dir. Katetləri və hündürlüyü tap.

Həllə bax

Nisbətin hissələri $9+16=25$ ədəddir, bir hissə $50:25=2$ sm edir. Proyeksiyalar $9\times 2=18$ sm və $16\times 2=32$ sm-dir. Birinci katet $\sqrt{18\times 50}=30$ sm, ikinci katet $\sqrt{32\times 50}=40$ sm, hündürlük $\sqrt{18\times 32}=24$ sm-dir.

$ABCD$ bərabəryanlı trapesiyasında $AD\parallel BC$ , $AD=50$ , $BC=14$ , $AC\perp CD$ . $CD$ və trapesiyanın sahəsini tap.

Həllə bax

$C$ -dən $AD$ -yə endirilən $CH$ hündürlüyü $ACD$ düzbucaqlı üçbucağında hipotenuza çəkilib, $HD$ isə $CD$ katetinin proyeksiyasıdır: $HD=\dfrac{50-14}{2}=18$ . Onda $CD^2=50\times 18=900$ , yəni $CD=30$ . Həmçinin $AH=32$ və $CH=\sqrt{32\times 18}=24$ . Sahə $\dfrac{50+14}{2}\times 24=768$ kv.vahid.

ABCD bərabəryanlı trapesiyası: AD = 50, BC = 14, AC CD-yə perpendikulyardır; CH = 24, HD = 18, CD = 30.

Düzbucaqlı üçbucaqda

AC=15

sm katetdir, onun hipotenuz üzərindəki proyeksiyası

AD=9

sm-dir. Hipotenuzu, ikinci kateti və hündürlüyü tap.

Həllə bax

$AC^2=AD\times AB$ olduğundan $225=9\times AB$ , yəni $AB=25$ sm.
İkinci proyeksiya: $DB=25-9=16$ sm.
Hündürlük: $CD=\sqrt{9\times 16}=\sqrt{144}=12$ sm.
İkinci katet: $BC=\sqrt{16\times 25}=\sqrt{400}=20$ sm.
Yoxlama: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ .

$AB=25$ sm, $BC=20$ sm, $CD=12$ sm.

Tipik səhv

$AD=9$ , $DB=16$ olduqda: $AC^2=AD\times DB=9\times 16=144$ , deməli $AC=144$ .

$AC^2=AD\times AB=9\times 25=225$ , deməli $AC=\sqrt{225}=15$ . Yoxlama: $BC^2=16\times 25=400$ , $15^2+20^2=625=25^2$ .

Şagirdlər çox vaxt katetin kvadratını iki proyeksiyanın hasilinə bərabər götürürlər, amma $AD\times DB$ düsturu hündürlüyə aiddir. Katetin kvadratı üçün onun öz proyeksiyası ilə bütün hipotenuz vurulur.

Başqa bir səhv kökalmanı unutmaqdır: hasil kvadratı verir, uzunluq üçün kök çıxmalıdır. Hesabdan sonra $AC^2+BC^2=AB^2$ bərabərliyini yoxla.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $BC$ kateti üçün doğru bərabərliyi seç.

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu $4$ sm və $25$ sm uzunluğunda iki parçaya bölür. Hündürlüyü tap.

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $CD$ hipotenuza çəkilmiş hündürlükdür. $AC=6$ sm və $AB=9$ sm olarsa, $AD$ proyeksiyasını tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Düzbucaqlı üçbucaqda metrik münasibətlər», səh. 106