Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Üçbucağa çəkilmiş çevrələr: mərkəz harada, radius nə qədər

Üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzini tapmağı, $r$ və $R$ radiuslarını hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: dülgər masasında üçbucaq formalı taxta lövhə və ondan kəsilmiş dəyirmi taxta parçası.

Təsəvvür et: üç ev bir xətt üzərində deyil, onlardan eyni məsafədə olan bir quyu qazmaq istəyirsən. Belə nöqtə var və yalnız birdir. Onu mərkəz götürüb üç evdən keçən çevrə çəkmək olar.

İndi başqa sual: üçbucaq formalı taxtadan mümkün qədər böyük dairə kəsmək lazımdır. Bu dairənin kənarı üçbucağın hər üç tərəfinə toxunacaq.

Birinci çevrə xaricə, ikincisi daxilə çəkilmiş çevrədir. İkisi də eyni üçbucaqdandır, amma mərkəzləri fərqli yollarla tapılır. Hansı yolun hansı çevrəyə aid olduğunu bilsən, mövzunun yarısını həll etmiş olursan.

Niyə lazımdır

Bu mövzu həndəsədə tez-tez lazım olur: üçbucağın tərəflərini, sahəsini və bucaqlarını çevrələrin radiusları ilə əlaqələndirən müxtəlif düsturlar var. Uyğun düsturda digər kəmiyyətlər məlumdursa, naməlum kəmiyyəti tapa bilərsən.

İmtahanda bu məsələlər adətən qısa olur, amma bir düstur səhv yadda qalıbsa, cavab da səhv çıxır. Düzbucaqlı və bərabərtərəfli üçbucaqların hazır düsturlarını bilmək vaxta çox qənaət edir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda çevrənin radiusunu, üçbucağın tərəfini və ya bucağını hesablamaq tələb oluna bilər. Perimetr və radiusun hündürlüyə nisbəti veriləndə sahə düsturlarını əlaqələndirirsən. Çevrə ilə bağlı məsələlərdə toxunma nöqtəsinə yönələn radiusun perpendikulyarlığı, eyni qövsə söykənən bucaqlar və düzbucaqlı üçbucağın xassələri də lazım olur. Əvvəlcə çevrənin tərəflərə toxunduğunu, yoxsa təpələrdən keçdiyini ayırd et.

Qayda

Daxilə çəkilmiş çevrə üçbucağın hər tərəfinə toxunur. Mərkəzi daxili bucaqların tənbölənlərinin ortaq nöqtəsidir və həmişə üçbucağın içindədir. Mərkəzdən tərəfə endirilən perpendikulyarın uzunluğu $r$ radiusudur.
Xaricə çəkilmiş çevrə üç təpədən keçir. Mərkəz tərəflərin orta perpendikulyarlarının görüşdüyü nöqtədir; təpələrə qədər məsafələrin hər biri $R$ olur. İtibucaqlı üçbucaqda mərkəz içəridə, korbucaqlı üçbucaqda isə kənarda yerləşir.
Hər üçbucaq üçün bu çevrələrin hər biri yeganədir. Onları qurarkən uyğun iki xəttin kəsişməsindən mərkəzi tap, sonra radiusu müəyyənləşdir.
Toxunan parçalar eyni təpədən çevrəyə çəkildikdə bərabər uzunluqda olur. Toxunma nöqtəsini mərkəzlə birləşdirən radius həmin tərəfə perpendikulyardır.
Tərəflər $a,b,c$ , sahə $S$ olduqda radiuslar $r=\frac{2S}{a+b+c}$ və $R=\frac{abc}{4S}$ ilə hesablanır. Birinci düstur mərkəzi təpələrlə birləşdirərək alınan üç kiçik üçbucağın sahələrini toplamaqdan çıxır.
$a$ tərəfinin qarşısındakı bucaq $\alpha$ olarsa, xaricdəki çevrənin diametri $d=\frac{a}{\sin\alpha}$ olar. Radiusu tapmaq üçün diametri ikiyə böl.
Düzbucaqlı üçbucaqda katetlər $a,b$ , hipotenuz $c$ olduqda $r=\frac{a+b-c}{2}$ . Hipotenuz xaricdəki çevrənin diametridir; mərkəz onun orta nöqtəsidir. Əksinə, üçbucağın bir tərəfi çevrənin diametridirsə, qarşı bucaq $90^\circ$ olur.
Bərabərtərəfli üçbucaqda hər iki mərkəz medianların görüşdüyü nöqtədir. Hündürlük $h$ olduqda $R=\frac{2}{3}h$ , $r=\frac{1}{3}h$ .

Katetləri dəyiş, radiuslara bax

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərini sürüşdür. Hipotenuz və hər iki radius dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Düzbucaqlı üçbucağın katetləri

9

sm və

12

sm-dir. Hər iki radiusu tap.

Həllə bax

Əvvəl hipotenuzu hesabla: $c=\sqrt{9^2+12^2}=15$ sm. Deməli, $r=\frac{9+12-15}{2}=3$ sm, $R=\frac{15}{2}=7{,}5$ sm.

Bərabəryanlı üçbucaqda perimetr $42$ sm, daxildəki çevrənin radiusu oturacağa çəkilən $h$ hündürlüyünün üçdə biridir. Oturacağı tap.

Həllə bax

Oturacağı $x$ adlandır: $S=\frac{xh}{2}$ . Onda $r=\frac{2S}{42}=\frac{xh}{42}$ . Şərtdən $\frac{h}{3}=\frac{xh}{42}$ , buradan $x=14$ sm alınır.

Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü $9$ sm-dir. Çevrələrinin radiuslarını tap.

Həllə bax

$r=\frac{9}{3}=3$ sm və $R=\frac{2\times9}{3}=6$ sm. Burada hər iki çevrənin mərkəzi eyni olsa da, radiusları fərqlidir.

Üçbucağın tərəfləri

13

sm,

14

sm və

15

sm-dir. Daxilə və xaricə çəkilmiş çevrələrin radiuslarını tap.

Həllə bax

Sahəni Heron düsturu ilə tap. Yarımperimetr: $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ sm.
$S=\sqrt{21\times(21-13)\times(21-14)\times(21-15)}=\sqrt{21\times8\times7\times6}=\sqrt{7056}=84$ sm².
Daxildəki çevrə üçün: $r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2\times84}{42}=4$ sm.
Xaricdəki çevrə üçün: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\times14\times15}{4\times84}=\frac{2730}{336}=8{,}125$ sm.

$r=4$ sm, $R=8{,}125$ sm.

Tipik səhv

Hipotenuz $c=10$ sm, deməli $R=10$ sm. Daxildəki çevrənin mərkəzi orta perpendikulyarların kəsişməsidir, $r$ isə mərkəzdən təpəyə qədər olan məsafədir.

Hipotenuz diametrdir: $R=\frac{10}{2}=5$ sm. Daxildəki çevrənin mərkəzi tənbölənlərin kəsişməsidir, $r$ isə mərkəzdən tərəfə olan perpendikulyar məsafədir.

Tənbölənlə orta perpendikulyarı qarışdırma: birincisi bucağı yarıya bölür, ikincisi tərəfin ortasından ona perpendikulyar keçir. Daxildəki çevrənin radiusunu təpəyə qədər ölçmə; tərəfə olan perpendikulyar məsafəni götür.

Hipotenuzu da radius sayma: o, diametrdir.

Özünü yoxla

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzini tapmaq üçün hansı xətlərin kəsişməsini götürməlisən?

Üçbucağın perimetri $32$ sm, daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu $3$ sm-dir. Üçbucağın sahəsini tap.

Üçbucağın $12$ sm uzunluğundakı tərəfinin qarşısında $30^\circ$ bucaq yerləşir. Xaricə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Bu mövzudan tapşırıqlar həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 123