Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Sinuslar teoremi: üçbucağın tərəflərini və bucaqlarını tapmaq

Üçbucağın bir tərəfini və bucaqlarını bilirsənsə, qalan tərəfləri və xaricə çəkilmiş çevrənin radiusunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: çayın o biri sahilində tək ağac, bu sahildə isə bir-birindən aralı iki taxta paya.

Təsəvvür et ki, çayın o biri sahilində bir ağac var və ona qədər məsafəni bilmək istəyirsən. Çayı keçə bilmirsən, ruletin də o qədər uzun deyil. Amma öz sahilində iki nöqtə seçib aralarındakı məsafəni ölçə bilərsən.

Sonra hər nöqtədən ağaca baxıb bucağı ölçürsən. İndi əlində bir üçbucaq var: bir tərəfi və ona bitişik iki bucağı məlumdur. Ağaca qədər olan tərəfləri isə sinuslar teoremi bir sətirdə verir. Xəritəçilər yer ölçərkən məhz bu fikirdən, yəni üçbucaqlara bölməkdən istifadə edirlər.

Niyə lazımdır

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusu həmin bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbəti idi. Bəs üçbucaq düzbucaqlı deyilsə? Sinuslar teoremi istənilən üçbucaqda işləyir və tərəfləri bucaqlarla bağlayır. Hündürlük çəkib üçbucağı hissələrə bölmək əvəzinə bir tənasüb yazırsan və bitdi.

İmtahanda bu, vaxt deməkdir: şərtdə tərəf və onun qarşısındakı bucaq görünən kimi tənasübü qurursan. Xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu da eyni düsturdan çıxır, ayrıca bir şey əzbərləmək lazım deyil.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxunda üçbucağın iki bucağı ilə bir tərəfi məlum olur və başqa bir tərəfin uzunluğu soruşulur; bəzən əvvəlcə üçüncü bucağı hesablamaq lazım gəlir. Digər suallarda iki tərəf və onlardan birinin qarşısındakı bucaq verilir, axtarılan isə başqa bucağın sinusu və ya dərəcə ölçüsüdür. İmtahan həmçinin iki bucağın sinuslarının nisbətini, xaricə çəkilmiş çevrənin radiusunu, verilmiş bucağa və onun qarşısındakı tərəfə görə ən böyük tərəfin mümkün olan ən böyük qiymətini, eləcə də cavabı hərflərlə ( $c$ , $\alpha$ və s.) ifadə olunan tapşırıqlar verir. Çətin suallarda teorem bərabəryanlı üçbucağın, xarici bucağın və ya hündürlüyün xassələri ilə birlikdə işlədilir.

Qayda

İstənilən üçbucaqda hər tərəfin öz qarşısındakı bucağın sinusuna nisbəti eynidir və xaricə çəkilmiş çevrənin diametrinə bərabərdir: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ .
Tərəflər bucaqların özü ilə yox, sinusları ilə mütənasibdir: $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ .
Böyük bucaq qarşısında böyük tərəf durur, bərabər bucaqlar qarşısındakı tərəflər bərabərdir.
$\sin(180^\circ-x)=\sin x$ , məsələn, $\sin120^\circ=\sin60^\circ$ , $\sin135^\circ=\sin45^\circ$ .
Sinusa görə bucağın iki qiyməti ola bilər: $x$ və $180^\circ-x$ . Hər birini bucaqların cəminin $180^\circ$ -dən kiçik qalması şərti ilə yoxla.

Özün hesabla

Hər sualda cavabı yaz. Lazım olsa, mində birə qədər yuvarlaqlaşdır.

Nümunələr

Üçbucaqda

\angle A=60^\circ

\angle C=45^\circ

AB=2\sqrt{6}

. BC-ni tap.

Həllə bax

Həlli: AB tərəfi C bucağının, BC isə A bucağının qarşısındadır: $BC=\frac{2\sqrt{6}\times\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=6$ .

Birinci nümunə: A bucağı 60° və qarşısındakı BC = 6 qırmızı, C bucağı 45° və qarşısındakı AB = 2√6 yaşıl göstərilib. — $AB$ qarşısında $C$ , $BC$ qarşısında $A$ bucağı yerləşir.

Radiusu 5 olan çevrəyə daxil edilmiş üçbucağın bir bucağı $150^\circ$ -dir. Bu bucağın qarşısındakı tərəfi tap.

Həllə bax

Həlli: $a=2R\sin150^\circ=10\times\frac{1}{2}=5$ .

Üçbucaqda $a=4$ , $b=4\sqrt{3}$ , $\angle A=30^\circ$ . B bucağını tap.

Həllə bax

Həlli: $\sin B=\frac{4\sqrt{3}\times\frac{1}{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , deməli $B=60^\circ$ və ya $B=120^\circ$ ; hər ikisi uyğundur, çünki $30^\circ+120^\circ<180^\circ$ . Məsələnin iki həlli var.

B bucağının iki mümkün qiyməti
$A$	$B$	Yoxlama
$30^\circ$	$60^\circ$	$30^\circ+60^\circ<180^\circ$
$30^\circ$	$120^\circ$	$30^\circ+120^\circ<180^\circ$

Tipik səhv

$\angle A=60^\circ$ , $\angle C=45^\circ$ , $AB=2\sqrt{6}$ olanda: $\frac{AB}{\sin A}=\frac{BC}{\sin C}$

$AB$ tərəfi $C$ bucağının, $BC$ isə $A$ bucağının qarşısındadır: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$ , buradan $BC=6$ .

Ən çox rast gəlinən səhv tərəfi bucaqla düzgün cütləşdirməməkdir: düsturda hər tərəf yalnız öz qarşısındakı bucağın sinusu ilə yazılır, ona görə əvvəlcə hansı tərəfin hansı təpənin qarşısında olduğunu müəyyənləşdir.

Başqa səhvlər də var: sinusdan bucağa keçəndə kor bucaq variantını unutmaq və ya, əksinə, bucaqların cəmini $180^\circ$ -dən artıq edən qiyməti də cavaba yazmaq; nisbətin radiusa deyil, diametrə bərabər olduğunu unutmaq (radius üçün $2R$ -i ikiyə böl); bir də bucaqların nisbətini tərəflərin nisbəti ilə eyni saymaq.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $\angle A=45^\circ$ , $\angle B=105^\circ$ və $AB=5$ -dir. $BC$ tərəfini tap.

Üçbucaqda $a=6\sqrt{3}$ və $\angle A=120^\circ$ -dir. Xaricə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Üçbucaqda $a=6$ , $b=2\sqrt{3}$ və $\angle A=60^\circ$ -dir. $B$ bucağının bütün mümkün qiymətlərini göstərən variantı seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Sinuslar teoremi üzrə tapşırıqları həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Sinuslar teoremi», səh. 117