Riyaziyyat, Üçbucaqlar

Üçbucaqların həlli: sinuslar və kosinuslar teoremi ilə

İki teoremlə üçbucağın verilməyən tərəflərini və bucaqlarını tapmağı, həllin neçə olduğunu yoxlamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: çayın bu sahilində üçayaqlı ölçü cihazı, qarşı sahildə tək hündür ağac.

Çayın o biri sahilindəki ağaca qədər məsafəni necə ölçərsən? Ruletkanı suyun üstündən çəkmək çətin ola bilər, üzüb keçmək də ölçmə deyil.

Amma öz sahilində iki nöqtə seçib aralarındakı məsafəni ölçmək asandır. Hər nöqtədən ağaca baxıb bucağı ölçürsən. İndi bir tərəf və iki bucaq bəllidir, qalanı sadəcə hesabdır. Xəritəçilər uzun müddət ərazini məhz belə, üçbucaqlara bölərək ölçüblər.

Həmin hesabı bu səhifədə öyrənəcəksən. İki teorem və bir az diqqət kifayətdir ki, üçbucağın görünməyən ölçüləri üzə çıxsın.

Niyə lazımdır

Pifaqor teoremi yalnız düzbucaqlı üçbucaqda işləyir, bu iki teorem isə istənilən üçbucaqda. Kosinuslar teoremində $A=90^\circ$ götürsən, $\cos A=0$ olur və qarşına tanış Pifaqor teoremi çıxır.

İmtahanda bu teoremlər başqa mövzuların içində də çıxır. Paraleloqramın diaqonalı, trapesiyanın tərəfi, üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu soruşulanda da fiqurun içində bir üçbucaq tapıb onu həll edirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Üçbucağı həll etmək onun verilməyən tərəflərini və bucaqlarını tapmaq deməkdir. İmtahan tapşırıqlarında çox vaxt üçbucağın iki bucağı və bir tərəfi verilir, başqa bir tərəfi soruşulur; ya da iki tərəf və onların arasındakı bucaq məlumdur, üçüncü tərəfi, hansısa bucağın kosinusunu və ya sinusunu hesablamaq lazımdır. Üç tərəfə görə bucağın kosinusu, tərəflər arasındakı bərabərliyə görə bucağın özü, təpə bucağı $120^\circ$ olan bərabəryanlı üçbucağın yan tərəfi, şəkildəki ölçülərə görə sinus da tez-tez soruşulur. Çətin suallarda tərəfin ala biləcəyi ən böyük və ya ən kiçik qiymət, korbucaqlı üçbucaq üçün mümkün natural qiymətlər, bir neçə üçbucaqdan qurulmuş fiqurlar və uyğunluq tapşırıqları olur.

Qayda

Sinuslar teoremi: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ . İki bucaq və bir tərəf verildikdə əvvəlcə üçüncü bucaq verilən iki bucağın cəmi $180^\circ$ -dən çıxılmaqla tapılır, sonra bu nisbətlər yazılır.
Kosinuslar teoremi: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ . Bu düstur iki tərəf və aralarındakı bucaq və ya üç tərəf məlum olanda işlədilir.
Sahə: $S=\frac12 bc\sin A$ ; $\sin(180^\circ-A)=\sin A$ .
$a$ , $b$ tərəfləri və $a$ -nın qarşısındakı iti $A$ bucağı verilirsə: $a<b\sin A$ olduqda həll yoxdur, $a=b\sin A$ və ya $a\ge b$ olduqda bir həll, $b\sin A<a<b$ olduqda iki həll var. $A$ düz və ya kor bucaq olduqda yalnız $a>b$ halında bir üçbucaq alınır.
Böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq durur; sinusların nisbəti qarşı tərəflərin nisbətinə bərabərdir.

Hansı teorem uyğundur?
Verilən	İstifadə et
İki bucaq və bir tərəf	Sinuslar teoremi
İki tərəf və aralarındakı bucaq	Kosinuslar teoremi
Üç tərəf	Kosinuslar teoremi

Bucağı dəyiş, tərəfə bax

$b$ və $c$ tərəflərini, onların arasındakı $A$ bucağını seç. Səhifə kosinuslar teoremi ilə üçüncü tərəfi, sinusla isə sahəni hesablayır. Başlanğıc qiymətlər 2-ci nümunədəkilərdir.

Nümunələr

ABC üçbucağında

\angle A=45^\circ

\angle B=105^\circ

BC=4

. AB-ni tap.

Həllə bax

Həlli: $\angle C=30^\circ$ və $AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{4\times\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=2\sqrt2$ .

Üçbucağın iki tərəfi 3 və 8, aralarındakı bucaq $60^\circ$ -dir. Üçüncü tərəfi və sahəni tap.

Həllə bax

Həlli: $x^2=9+64-24=49$ , $x=7$ ; $S=\frac12\times3\times8\times\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$ .

İki tərəfi 3 və 8, aralarındakı bucaq 60° olan üçbucaq: qarşı tərəf 7-dir. — $60^\circ$ bucağı $3$ və $8$ tərəfləri arasındadır; qarşı tərəf $7$ -dir

$\angle A=30^\circ$ , $AC=12$ , $BC=8$ olarsa, neçə ABC üçbucağı var?

Həllə bax

Həlli: $AC\sin A=6<8<12$ , ona görə iki üçbucaq var: B bucağı həm iti, həm də kor ola bilər.

Üçbucağın tərəfləri 5, 7 və 8-dir. Uzunluğu 7 olan tərəfin qarşısındakı bucağı tap.

Həllə bax

Üç tərəf məlumdur, deməli, kosinuslar teoremini yazırıq: $7^2=5^2+8^2-2\times5\times8\times\cos A$ .
$49=89-80\cos A$ , buradan $80\cos A=40$ və $\cos A=\frac12$ .
Kosinusu $\frac12$ olan bucaq $60^\circ$ -dir.

$60^\circ$

Tipik səhv

$\angle A=45^\circ$ , $\angle B=60^\circ$ üçbucağında: $\frac{BC}{\sin B}=\frac{AC}{\sin A}$

$BC$ tərəfi $A$ bucağının qarşısındadır, $AC$ isə $B$ bucağının: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Ən çox rast gəlinən səhv tərəfi onun qarşısında durmayan bucaqla əlaqələndirməkdir: sinuslar teoremində hər tərəf yalnız öz qarşısındakı bucağın sinusuna bölünür, ona görə əvvəlcə şəkildə hansı bucağın hansı tərəfin qarşısında durduğunu qeyd et.

İkinci səhv $\sin B$ tapılandan sonra yalnız iti bucağı götürməkdir: kor bucaq da uyğun ola bilər, sadəcə iki bucağın cəminin $180^\circ$ -dən kiçik olduğunu yoxla. Kor bucağın kosinusu mənfidir, ona görə $120^\circ$ olduqda kosinuslar teoremində $bc$ hasili toplanır: $a^2=b^2+c^2+bc$ . Nəhayət, sinusların nisbətini bucaqların nisbəti ilə qarışdırma: $\sin A:\sin B=2:1$ olması $A=2B$ demək deyil.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $\angle A=30^\circ$ , $\angle B=60^\circ$ və $BC=5$ -dir. $AC$ tərəfini tap.

Üçbucağın iki tərəfi $4$ və $6$ , aralarındakı bucaq $120^\circ$ -dir. Üçüncü tərəfi tap.

$\angle A=45^\circ$ , $AC=8$ və $BC=4\sqrt2$ şərtlərinə uyğun neçə $ABC$ üçbucağı var?

Mövzunu tapşırıqlarla möhkəmləndir

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Sinuslar teoremi», səh. 117
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kosinuslar teoremi», səh. 126