beta

← Geri

Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Triqonometrik funksiyaların cəminin və fərqinin hasilə çevrilməsi

  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında ən çox iki sinusun və ya iki kosinusun cəmini (fərqini) hasil şəklində yazmaq tələb olunur. Bundan başqa, cədvəldə olmayan bucaqlardan qurulmuş ifadənin qiymətini hesablamaq, kəsri bir funksiyaya gətirmək, verilən α\alpha üçün kəsrin qiymətini tapmaq, düsturlardan hansının səhv olduğunu göstərmək və funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq kimi tapşırıqlar var. Çətin tapşırıqlarda sinusların cəmi barədə şərt verilir və ondan yarım bucaqların tangensləri üçün nəticə çıxarılır. Asan tapşırıqlar bir addımda həll olunur, çətinlərində isə bir neçə çevirməni ardıcıl aparmaq lazım gəlir.

Qayda

  • sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};
  • sin⁡α−sin⁡β=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2};
  • cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2};
  • cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.

Bu bərabərliklər α=x+y\alpha=x+y, β=x−y\beta=x-y əvəzləməsi ilə toplama düsturlarından çıxır. Sinusla kosinusun cəmini çevirmək üçün əvvəlcə onları eyni funksiyaya gətir, məsələn, cos⁡β=sin⁡(90∘−β)\cos\beta=\sin(90^\circ-\beta). Ədəd ilə funksiyanın cəmi də belə çevrilir: 12+cos⁡α=cos⁡60∘+cos⁡α\frac{1}{2}+\cos\alpha=\cos 60^\circ+\cos\alpha. Tez-tez lazım olan nəticə: sin⁡α+sin⁡βcos⁡α+cos⁡β=tan⁡α+β2\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\tan\frac{\alpha+\beta}{2}. Yadda saxlamaq asandır: sinusların və kosinusların cəmində yarım cəm birinci vuruğa düşür, sinusların fərqində isə sinusun arqumenti yarım fərqdir.

Nümunələr

1

sin⁡80∘+cos⁡80∘\sin 80^\circ+\cos 80^\circ cəmini hasilə çevir.

Həlli: cos⁡80∘=sin⁡10∘\cos 80^\circ=\sin 10^\circ, onda sin⁡80∘+sin⁡10∘=2sin⁡45∘cos⁡35∘=2cos⁡35∘\sin 80^\circ+\sin 10^\circ=2\sin 45^\circ\cos 35^\circ=\sqrt{2}\cos 35^\circ.

Hasilə çevirmədə yarım bucaqlar
AddımNəticə
cos⁡80∘\cos80^\circsin⁡10∘\sin10^\circ
Yarım cəm45∘45^\circ
Yarım fərq35∘35^\circ
Hasil2sin⁡45∘cos⁡35∘2\sin45^\circ\cos35^\circ
2

sin⁡4x+sin⁡6xcos⁡4x−cos⁡6x\frac{\sin 4x+\sin 6x}{\cos 4x-\cos 6x} kəsrini sadələşdir.

Həlli: surət 2sin⁡5xcos⁡x2\sin 5x\cos x, məxrəc −2sin⁡5xsin⁡(−x)=2sin⁡5xsin⁡x-2\sin 5x\sin(-x)=2\sin 5x\sin x olur, ona görə kəsr cot⁡x\cot x-ə bərabərdir.

3

cos⁡25∘+cos⁡95∘−cos⁡35∘\cos 25^\circ+\cos 95^\circ-\cos 35^\circ ifadəsinin qiymətini tap.

Həlli: cos⁡25∘+cos⁡95∘=2cos⁡60∘cos⁡35∘=cos⁡35∘\cos 25^\circ+\cos 95^\circ=2\cos 60^\circ\cos 35^\circ=\cos 35^\circ, deməli, ifadə sıfıra bərabərdir. Belə ifadələrdə yarım cəmi 30∘30^\circ, 45∘45^\circ və ya 60∘60^\circ olan cütü axtar, çünki bu bucaqların sinusu və kosinusu məlumdur.

Tipik səhv

Ən çox rast gəlinən səhv işarə ilə bağlıdır. Kosinusların fərqi üçün düsturun qarşısında mənfi işarə durur və onu unudan şagird cavabı əks işarə ilə alır. Bundan əlavə, sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x, amma cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x olduğunu yadda saxla: yarım fərq mənfi alınanda sinusun işarəsi dəyişir. Bəzən sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta cəmi sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) ilə eyniləşdirilir, bu isə yanlışdır: sin⁡30∘+sin⁡30∘=1\sin 30^\circ+\sin 30^\circ=1, halbuki sin⁡60∘≠1\sin 60^\circ\ne 1. Nəhayət, yarım cəmi və yarım fərqi tapanda 2-yə bölməyi unutma və cavabı sadə yolla yoxla: məsələn, cos⁡20∘>cos⁡70∘\cos 20^\circ>\cos 70^\circ olduğundan cos⁡20∘−cos⁡70∘\cos 20^\circ-\cos 70^\circ fərqi müsbət olmalıdır.