Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Yarım bucağın sinusu, kosinusu və tangensi: işarəni necə seçmək

Bucağın kosinusu məlum olanda onun yarısının sinusunu, kosinusunu və tangensini tapacaq, kökün qarşısındakı işarəni də səhvsiz seçəcəksən.

Oxumaq üçün təxminən 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə küncü çəp qatlanmış ağ kağız vərəqi və yanında karandaş.

Bir vərəq kağız götür və küncünü elə qatla ki, iki kənarı üst-üstə düşsün. $90^\circ$ -lik künc iki bərabər hissəyə bölündü: hər biri $45^\circ$ . Bir də qatlasan, $22^\circ30'$ alınır. Bucağı yarıya bölmək ən asan işdir, buna barmaqlar da bəs edir.

Triqonometriyada isə bu, o qədər də asan deyil. $30^\circ$ , $45^\circ$ və $60^\circ$ üçün sinusu və kosinusu əzbər bilirsən. Bəs $15^\circ$ və ya $22^\circ30'$ üçün? Cədvəl yoxdur, kalkulyator da yoxdur. Əvəzində bucağın özü üçün bildiyini onun yarısına keçirən düsturlar var.

Bir şərti var: bu düsturlarda kvadrat kök çıxır, kökün özü isə mənfi ola bilməz. Ona görə kökün qarşısına «+» və ya «−» yazılır, bunu da yarım bucağın düşdüyü rüb müəyyən edir. Əsas məsələ doğru işarəni seçməkdir.

Niyə lazımdır

Dərəcəni aşağı salma düsturları $\sin^2$ və $\cos^2$ -nı kvadratsız ifadəyə çevirir. Bu, bəzi triqonometrik tənlikləri və ifadələri xeyli sadələşdirir.

$t=\tan\frac{\alpha}{2}$ əvəzləməsi isə həm $\sin\alpha$ -nı, həm də $\cos\alpha$ -nı bir hərflə yazmağa imkan verir. Tənlikdə iki müxtəlif funksiya əvəzinə bir dəyişən qalır, bu da adi cəbri tənliyə gətirir. İmtahanda belə tapşırıqda yolu tez görən vaxt qazanır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Testlərdə ən çox bucağın kosinusu (bəzən sinusu və ya tangensi) və yerləşdiyi aralıq verilir, onun yarısının sinusunu, kosinusunu və ya tangensini tapmaq tələb olunur; burada əsas çətinlik kökün qarşısındakı işarəni düzgün seçməkdir. Başqa tapşırıqlarda $22^\circ30'$ , $15^\circ$ , $\frac{\pi}{8}$ kimi bucaqların dəqiq qiyməti hesablanır, bir bucağın kosinusu hərflə verilir və yarım bucağın funksiyası həmin hərflə ifadə olunur, yaxud tərkibində $1\pm\cos\alpha$ və $\sin\alpha$ olan kəsrlər sadələşdirilir. Çətin tapşırıqlarda $\tan\frac{\alpha}{2}$ vasitəsilə tənlik qurulur və ya kök altındakı ifadə modulla açılır.

Qayda

Əsas bərabərlik: $\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1$ (ikiqat bucağın kosinusu düsturu). Aşağıdakı düsturların hamısı buradan alınır.
Dərəcəni aşağı salma düsturları: $\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$ , $\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$ , $\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$ .
Kökə keçdikdə $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ alınır; işarə $\frac{\alpha}{2}$ bucağının düşdüyü rübə görə seçilir.
Kök və işarə tələb etməyən düsturlar ( $\sin\alpha\ne0$ olanda): $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ , $\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .
$t=\tan\frac{\alpha}{2}$ olarsa, $\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}$ , $\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ .
Sadələşdirmədə: $1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ , $1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}

Burada $\alpha=10^\circ$ götürülür, onda $2\alpha=20^\circ$ olur. $\sin10^\circ$ müsbət olduğundan kvadrat kökün müsbət qiyməti seçilir.

İşarəni sən seç

Hər dəfə $\alpha$ -nın aralığı verilir. Əvvəlcə $\frac{\alpha}{2}$ -nin hansı rübə düşdüyünü tap, sonra funksiyanın işarəsini seç.

Nümunələr

\cos\alpha=-\frac{1}{8}

və

90^\circ<\alpha<180^\circ

olarsa,

\sin\frac{\alpha}{2}

-ni tap.

Həllə bax

Həlli: $\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{1}{8}}{2}=\frac{9}{16}$ . $45^\circ<\frac{\alpha}{2}<90^\circ$ olduğundan sinus müsbətdir: $\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}$ .

α bucağı 90° ilə 180° arasında, α/2 isə 45° ilə 90° arasındadır. Sərhədlər daxil deyil; ox dərəcə ilə verilib. — $\alpha/2$ I rübdədir; $\sin(\alpha/2)>0$ . Ox dərəcə ilə verilib.

$\tan 15^\circ$ -ni hesabla.

Həllə bax

Həlli: $\tan 15^\circ=\frac{1-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2-\sqrt{3}$ .

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}$ olarsa, $\cos\alpha$ -nı tap.

Həllə bax

Həlli: $\cos\alpha=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$ , $\sin\alpha=\frac{2\times\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$ . Yoxlama: $\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1$ .

Tipik səhv

$\cos\alpha=\frac{7}{25}$ , $270^\circ<\alpha<360^\circ$ . $\alpha$ IV rübdədir, orada kosinus müsbətdir, deməli $\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\frac{4}{5}$ .

Bərabərsizliyin bütün hissələrini 2-yə bölürük: $135^\circ<\frac{\alpha}{2}<180^\circ$ , yəni $\frac{\alpha}{2}$ II rübdədir. $\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{7}{25}}{2}=\frac{16}{25}$ , II rübdə kosinus mənfidir: $\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{4}{5}$ .

Ən çox rast gəlinən səhv kökün işarəsini $\alpha$ bucağının rübünə görə seçməkdir. İşarəni isə $\frac{\alpha}{2}$ müəyyən edir: $270^\circ<\alpha<360^\circ$ olanda $\cos\alpha$ müsbətdir, amma $\frac{\alpha}{2}$ II rübə düşür və $\cos\frac{\alpha}{2}$ mənfi olur. Ona görə əvvəlcə bərabərsizliyin bütün hissələrini 2-yə böl, sonra işarəni seç.

Düsturları da qarışdırma: $\sin^2\frac{\alpha}{2}$ üçün surətdə $1-\cos\alpha$ , $\cos^2\frac{\alpha}{2}$ üçün isə $1+\cos\alpha$ yazılır. $\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ ifadəsini də birbaşa $\sin\frac{\alpha}{2}$ ilə əvəz etmə: o, $\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|$ -ə bərabərdir və mənfi ola bilməz, modulu açmaq üçün yenə $\frac{\alpha}{2}$ -nin rübünə bax. Cavabı seçəndən sonra onun işarəsini həmin rübdəki işarə ilə bir daha tutuşdur.

Özünü yoxla

$\cos\alpha=\frac{1}{9}$ və $0^\circ<\alpha<90^\circ$ olarsa, $\sin\frac{\alpha}{2}$ -ni tap.

$\cos\alpha=-\frac{7}{9}$ və $180^\circ<\alpha<270^\circ$ olarsa, $\cos\frac{\alpha}{2}$ -ni tap.

$\sin\alpha=-\frac{12}{13}$ və $\cos\alpha=\frac{5}{13}$ olarsa, $\tan\frac{\alpha}{2}$ -ni tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Yarım bucaq düsturları ilə tapşırıqları həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107