Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Çevirmə düsturları: funksiyanın adı və işarəsi

Oxlar üzərində olmayan bucaqların sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini iti bucağın funksiyası ilə yazmağı öyrənəcəksən: əvvəl adı, sonra işarəni.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: parkda, mavi səmanın fonunda kabinələri çarx boyunca bərabər düzülmüş böyük fırlanan çarx.

Sinus və kosinus cədvəlini yadına sal: orada cəmi bir neçə bucaq var, $0^\circ$ -dən $90^\circ$ -yə qədər. İmtahan isə sənə $300^\circ$ , $-210^\circ$ , hətta $\frac{3\pi}{2}$ -dən böyük bucaqlar verir. Cədvəli uzatmaq lazım deyil, çünki bu bucaqların hamısı əslində o kiçik cədvəldə gizlənib.

Fırlanan karuseli, məsələn, böyük çarxı düşün. Ən yuxarı və ən aşağı nöqtələr istisna olmaqla, kabinə bir dövr ərzində eyni hündürlükdən iki dəfə keçir, tam dövrdən sonra isə yenidən başladığı yerdə olur. Vahid çevrə üzərindəki nöqtə də belədir: $150^\circ$ -yə uyğun nöqtə $30^\circ$ -yə uyğun nöqtənin şaquli oxa görə güzgü əksidir. Hündürlükləri eynidir, deməli, $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ .

Çevirmə düsturları bu simmetriyanı iki suala çevirir: funksiyanın adı dəyişirmi və işarə nədir? Bu iki suala cavab verə bilsən, oxlar üzərində olmayan hər bucaq iti bucağa gəlir. $0^\circ$ , $90^\circ$ , $180^\circ$ , $270^\circ$ kimi bucaqların qiymətlərinə isə ayrıca baxılır: tangens və kotangens onların bəzilərində təyin olunmayıb.

Niyə lazımdır

Bu düsturlar triqonometriyada hər yerdə lazım olur: tənlik həll edəndə, ifadəni sadələşdirəndə, üçbucağın bucaqları ilə işləyəndə. Məsələn, $\sin 231^\circ$ cədvəldə yoxdur, amma $-\cos 39^\circ$ şəklində yazanda o, başqa bir hədlə ixtisar oluna bilər.

İmtahanda bu, adətən, bir-iki addımlıq işdir, amma tək bir işarə səhvi cavabı tamamilə dəyişir. Ona görə də qısa bir qayda yaxşıdır: əvvəl adı, sonra rübü, axırda isə ilkin funksiyanın işarəsini müəyyən et.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Sadə tapşırıqlarda $90^\circ$ -dən böyük və ya mənfi bucağın (dərəcə, yaxud radianla verilmiş) sinusunu, kosinusunu, tangensini və ya kotangensini hesablamaq lazımdır. Variantlardan verilmiş ifadəyə bərabər olanı seçmək, bir bucağın funksiyası hərflə verildikdə ( $\sin 40^\circ=m$ kimi) başqa bucağın funksiyasını həmin hərflə yazmaq və kəsr şəklində olan ifadəni sadələşdirmək də tez-tez soruşulur. Kodlaşdırılan cavablı tapşırıqlarda cədvəldə olmayan bucaqlar bir-birini ixtisar edir və ya cavab $x$ və $90^\circ-x$ bucaqlarını cüt-cüt birləşdirməklə alınır. Ən çətin tapşırıqlarda bucaqlar arasında əlaqə, yaxud triqonometrik ifadə üçün şərt verilir.

Qayda

Bucaq $180^\circ\pm\alpha$ və ya $360^\circ\pm\alpha$ ( $\pi\pm\alpha$ , $2\pi\pm\alpha$ ) kimi yazıldıqda funksiyanın adı saxlanılır.
Bucaq $90^\circ\pm\alpha$ və ya $270^\circ\pm\alpha$ ( $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ , $\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$ ) kimi yazıldıqda ad dəyişir: sinus ilə kosinus, tangens ilə kotangens yer dəyişir.
İşarəni tapmaq üçün $\alpha$ iti bucaq sayılır, verilmiş bucağın rübü müəyyən edilir və ilkin funksiyanın həmin rübdəki işarəsi yazılır.
Mənfi bucaq: $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ , $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ , $\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$ , $\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$ .
Böyük bucaqda əvvəlcə tam dövrlər atılır: sinus və kosinus üçün $360^\circ$ -nin, tangens və kotangens üçün $180^\circ$ -nin tam misilləri.
Faydalı nəticələr: $\sin^2x+\sin^2(90^\circ-x)=1$ , $\tan x\times\tan(90^\circ-x)=1$ , $\sin(180^\circ-x)=\sin x$ , $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$ .

Çevirmədə funksiyanın adı
Bucaq	Ad
$180^\circ\pm\alpha$ $360^\circ\pm\alpha$	Saxlanılır
$90^\circ\pm\alpha$ $270^\circ\pm\alpha$	$\sin\leftrightarrow\cos$ $\tan\leftrightarrow\cot$

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha

Bucağın kosinusu onu $90^\circ$ -yə tamamlayan bucağın sinusuna bərabərdir və tərsinə. Burada $\alpha=30^\circ$ olduqda $\sin 60^\circ=\cos 30^\circ$ alınır, fərq sıfırdır.

Öyrənilməli düstur

\sin\left(270^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha

$270^\circ-\alpha$ bucağı III rübdədir: orada sinus mənfidir, funksiyanın adı isə kosinusa dəyişir. Burada $231^\circ=270^\circ-39^\circ$ olduğundan $\sin231^\circ=-\cos39^\circ$ alınır.

Adı və işarəni tap

Hər sualda əvvəl adın dəyişib-dəyişmədiyini, sonra rübü və işarəni müəyyən et. Sonra variantı seç.

Nümunələr

\cot 300^\circ

-ni hesabla.

Həllə bax

Həlli: $300^\circ=270^\circ+30^\circ$ , ad dəyişir; $300^\circ$ IV rübdədir və orada kotangens mənfidir: $\cot 300^\circ=-\tan 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\times\tan(270^\circ-\alpha)}{\sin(90^\circ+\alpha)}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: $\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$ , $\tan(270^\circ-\alpha)=\cot\alpha$ , $\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$ ; nəticədə $\frac{-\cos\alpha\times\cot\alpha}{\cos\alpha}=-\cot\alpha$ alınır.

$A$ , $B$ , $C$ üçbucağın bucaqlarıdır. $\tan\frac{A+B}{2}\times\tan\frac{C}{2}$ hasilini tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{A+B}{2}=90^\circ-\frac{C}{2}$ , ona görə $\tan\frac{A+B}{2}=\cot\frac{C}{2}$ və hasil $1$ -ə bərabərdir.

Tipik səhv

$\cos(90^\circ+\alpha)=\sin\alpha$ , çünki sinus I rübdə müsbətdir

$90^\circ+\alpha$ II rübdədir, orada kosinus mənfidir: $\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$

Ən çox rast gəlinən səhv işarəni yeni alınan funksiyaya görə seçməkdir. İşarəni isə həmişə ilkin funksiya verir, həm də verilmiş bucağın rübündə.

Başqa bir səhv mənfi bucaqla bağlıdır: $\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\tan\frac{3\pi}{4}=-(-1)=1$ hesablananda iki mənfi işarədən biri itirilir. Bir də yadda saxla: $180^\circ$ və $360^\circ$ ilə funksiyanın adı dəyişmir, $90^\circ$ və $270^\circ$ ilə isə mütləq dəyişir.

Özünü yoxla

$\alpha$ iti bucaqdır. $\tan(90^\circ+\alpha)$ hansı ifadəyə bərabərdir?

$\cos32^\circ=m$ olarsa, $\cos148^\circ$ -ni $m$ ilə ifadə et.

$\sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right)$ qiymətini tap.

Bu mövzunu tapşırıqlarla möhkəmləndir

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Çevirmə düsturları», səh. 94