Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

İxtiyari bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi: tərif, vahid çevrə və işarələr

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik funksiyalar», səh. 81
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Vahid çevrə və triqonometrik funksiyalar», səh. 85

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan tapşırıqları bir neçə növdə olur: xüsusi bucaqların ( $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ , $180^\circ$ və s.) sinus, kosinus, tangens və kotangensinin qiymətlərindən istifadə edib ifadəni hesablamaq; $\cos 271^\circ$ və ya $\sin 3$ kimi ədədlərin işarəsini təyin etmək, bir neçə hasildən müsbət və ya mənfi olanını seçmək; funksiyaların işarələrinə görə bucağın rübünü tapmaq (çox vaxt uyğunluq şəklində); vahid çevrə üzərindəki nöqtənin məlum olmayan koordinatını tapmaq; şəkildə və ya şərtdə verilmiş nöqtəyə görə bucağın funksiyalarını hesablamaq. Çətin variantlarda işarə biliyi modul və kök daxilindəki ifadələri sadələşdirməyə lazım olur.

Qayda

$\alpha$ bucağının son tərəfi üzərində istənilən $P(x;\,y)$ ( $P\ne O$ ) nöqtəsi götürülür, $r=OP=\sqrt{x^2+y^2}$ . Onda $\sin\alpha=\frac{y}{r}$ , $\cos\alpha=\frac{x}{r}$ , $\tan\alpha=\frac{y}{x}$ ( $x\ne0$ ), $\cot\alpha=\frac{x}{y}$ ( $y\ne0$ ). Nəticə nöqtənin seçilməsindən asılı deyil.
Vahid çevrədə $r=1$ : bucağa uyğun nöqtə $(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ -dır, koordinatlar $x^2+y^2=1$ bərabərliyini ödəyir.
$90^\circ$ və $270^\circ$ üçün $x=0$ , ona görə tangens yoxdur; $0^\circ$ , $180^\circ$ , $360^\circ$ üçün $y=0$ , ona görə kotangens yoxdur.
İşarələr: I rübdə dörd funksiyanın hamısı müsbətdir, II rübdə yalnız sinus, III rübdə yalnız tangens və kotangens, IV rübdə isə yalnız kosinus müsbətdir.
Radianla verilmiş bucağın rübünü tapmaq üçün əvvəlcə onu $2\pi$ modulu üzrə $[0;\,2\pi)$ aralığına gətir, sonra $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ , $\frac{3\pi}{2}$ və $2\pi$ ədədləri ilə müqayisə et.

Rüblərdə funksiyaların işarələri
Rüb	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
I	+	+	+	+
II	+	−	−	−
III	−	−	+	+
IV	−	+	−	−

Nümunələr

Son tərəfi $M(-20;\,-21)$ nöqtəsindən keçən $\alpha$ bucağı üçün $\sin\alpha$ və $\tan\alpha$ -nı tap.

Həlli: $r=\sqrt{400+441}=29$ ; $\sin\alpha=-\frac{21}{29}$ , $\tan\alpha=\frac{-21}{-20}=\frac{21}{20}$ .

$\sin 6\times\cos 2$ hasilinin işarəsini müəyyən et.

Həlli: $4{,}71<6<6{,}28$ , deməli, $6$ radian IV rübdədir və $\sin 6<0$ ; $1{,}57<2<3{,}14$ , yəni $2$ radian II rübdədir və $\cos 2<0$ . İki mənfi ədədin hasili müsbətdir.

$\left(\frac{12}{13};\,y\right)$ nöqtəsi vahid çevrənin IV rübdəki hissəsindədir. $y$ -i tap.

Həlli: $y^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$ ; IV rübdə ordinat mənfidir, ona görə $y=-\frac{5}{13}$ .

Tipik səhv

Ən çox buraxılan səhv işarəni itirməkdir: $r$ həmişə müsbətdir, buna görə $\sin\alpha$ -nın işarəsi $y$ -in, $\cos\alpha$ -nın işarəsi isə $x$ -in işarəsi ilə eynidir. Kvadrat kökdən koordinat tapılanda iki qiymət ( $\pm$ ) alınır və hansının götürüləcəyini rüb həll edir. İkinci səhv tangensi kotangenslə qarışdırmaqdır: $\tan\alpha$ ordinatın absisə nisbətidir, tərsi deyil. Üçüncüsü, $\tan 360^\circ$ -ni mənasız saymaqdır: bu bucaqda $x=1$ , $y=0$ , yəni $\tan 360^\circ=0$ , mənasız olan $\cot 360^\circ$ -dir. Nəhayət, dərəcə işarəsi olmayan bucaq radiandır: $\sin 4$ ifadəsində $4$ radian III rübün bucağıdır, $4^\circ$ deyil.