Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Bucağın dərəcə ölçüsündən radian ölçüsünə və radiandan dərəcəyə keçid

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bucağın radian və dərəcə ölçüsü», səh. 74

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda bucaq ölçülərinin çevrilməsi adətən başqa məsələnin içində gizlənir. Üçbucaqda bir bucaq radianla, digər şərt isə dərəcə ilə verilir, cavab isə radianla soruşulur, ya da əksinə. Dairəvi hərəkət məsələlərində cisim tam dönmədən böyük, radianla verilmiş bucaq qədər dönür və başlanğıc ilə son vəziyyət arasındakı bucağın dərəcə ölçüsünü tapmaq lazım gəlir. Triqonometrik ifadələrin qiymətini hesablayanda da $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{4}$ kimi bucaqları tanış dərəcələrlə tez əlaqələndirmək işi asanlaşdırır. Variantlar çox vaxt $\pi$ ilə yazılmış kəsrlərdir.

Qayda

Tam dönmə $360^\circ$ , yəni $2\pi$ radiandır; buradan $\pi=180^\circ$ alınır.
Dərəcədən radiana keçmək üçün ədədi $\frac{\pi}{180}$ -ə vururuq: $x^\circ=\frac{\pi x}{180}$ .
Radiandan dərəcəyə keçmək üçün $\frac{180^\circ}{\pi}$ -yə vururuq. Radian ölçüsündə $\pi$ varsa, onun yerinə sadəcə $180^\circ$ yazmaq kifayətdir: $\frac{5\pi}{6}=\frac{5\times180^\circ}{6}=150^\circ$ .
Radian ölçüsü $\pi$ -siz verilibsə (məsələn, $2$ ), $1\ \text{rad}\approx57{,}3^\circ$ təqribi qiymətindən istifadə edilir.
Ən çox işlənən qiymətlər: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$ , $45^\circ=\frac{\pi}{4}$ , $60^\circ=\frac{\pi}{3}$ , $90^\circ=\frac{\pi}{2}$ , $270^\circ=\frac{3\pi}{2}$ .
Mənfi bucaq çevrildikdə işarə saxlanılır: $-\frac{\pi}{4}=-45^\circ$ .

Dərəcə və radian qarşılığı
Dərəcə	Radian
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$

Nümunələr

$84^\circ$ -ni radianla ifadə et.

Həlli: $84\times\frac{\pi}{180}=\frac{84\pi}{180}=\frac{7\pi}{15}$ .

$\frac{11\pi}{18}$ bucağının dərəcə ölçüsünü tap.

Həlli: $\frac{11\times180^\circ}{18}=11\times10^\circ=110^\circ$ .

Üçbucağın iki bucağı $\frac{\pi}{5}$ və $48^\circ$ -dir. Üçüncü bucağı radianla ifadə et.

Həlli: $\frac{\pi}{5}=36^\circ$ , üçüncü bucaq $180^\circ-36^\circ-48^\circ=96^\circ$ , yəni $\frac{96\pi}{180}=\frac{8\pi}{15}$ .

Tipik səhv

Ən çox rast gəlinən səhv $\pi$ -ni $360^\circ$ hesab etməkdir: bu zaman radiandan dərəcəyə çevirəndə cavab iki dəfə böyük, dərəcədən radiana çevirəndə isə iki dəfə kiçik alınır. Yadda saxla ki, $\pi$ radian açıq bucağa, yəni $180^\circ$ -yə bərabərdir, tam dönmə isə $2\pi$ -dir. İkinci səhv $\pi$ -siz yazılmış ədədi dərəcə kimi oxumaqdır: $1{,}5$ radian $1{,}5^\circ$ deyil, təxminən $86^\circ$ -dir. Dairəvi hərəkət məsələlərində əvvəlcə tam dönmələri ayır ( $360^\circ$ -nin misillərini çıx); istiqamətlər əksdirsə, dönmələri toplama, çıx; sonra $180^\circ$ -dən böyük alınan bucağı $360^\circ$ -dən çıx. Nəhayət, kəsri ixtisar etməyi unutma: variantlarda $\frac{84\pi}{180}$ deyil, $\frac{7\pi}{15}$ yazılır.