beta

← Geri

Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Triqonometriya: düsturlar, tənliklər və qiymətlər çoxluğu

Triqonometrik ifadəni sadələşdirməyi, tənliyin köklərini tapmağı və asin⁡x+bcos⁡xa\sin x+b\cos x ifadəsinin qiymətlər çoxluğunu müəyyən etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: günəşli küçədə dayanmış velosipedin fırlanan ön təkəri.

Velosiped təkərinin ventilini göz önünə gətir. Təkər fırlandıqca ventil gah oxdan yuxarı qalxır, gah aşağı enir. Hər tam dövrdən sonra isə yenə eyni hündürlüyə qayıdır.

Ventilin mərkəzdən məsafəsi rr, oxdan sağa çəkilmiş üfüqi şüadan saat əqrəbinin əksinə ölçülən bucağı α\alpha olsun. Onda ventilin oxa görə şaquli koordinatı h=rsin⁡αh=r\sin\alpha olur. Bucaq 360∘360^\circ artanda hər şey əvvəldən təkrarlanır. Sinusun dövrünün 2π2\pi olması da buradan gəlir.

Deməli, triqonometriya fırlanan, yellənən və təkrarlanan hər şeyin dilidir. İmtahanda isə iş düzgün düsturu düzgün anda seçməyə gəlib çıxır.

Niyə lazımdır

Fizikada rəqsləri və dalğaları təsvir edərkən, qüvvəni toplananlara ayırarkən sinus və kosinusdan istifadə olunur. Həndəsədə üçbucağın tərəfini və ya sahəsini tapmaq üçün də onlar lazım olur.

İmtahanda bu tapşırıqlar uzun hesablama deyil, bir neçə düsturu bir-birinə bağlamaq tələb edir. Hansı düsturun lazım olduğunu tez tanıyırsansa, tapşırıq bir-iki sətirdə həll olunur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda triqonometrik ifadəni sadələşdirir, verilmiş tangensə görə kəsrin qiymətini hesablayır, tənliyin bütün köklərini və ya göstərilən aralıqdakı köklərin cəmini tapırsan. Həmçinin sinusla kosinusun xətti kombinasiyasının qiymətlər çoxluğunu müəyyənləşdirir, bu çoxluqdakı natural ədədləri seçir və tərs triqonometrik funksiyanın təyin oblastını araşdırırsan.

Qayda

  • Radian ölçüsündə 180∘=π180^\circ=\pi radian qəbul edilir. Dərəcəni radiana çevirmək üçün π/180\pi/180 əmsalına vur. Eyni son tərəfi verən bucaqlar α+2πk\alpha+2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z şəklindədir.
  • Vahid çevrə üzərində bucağa uyğun nöqtə (cos⁡x;sin⁡x)(\cos x;\sin x) koordinatlarını daşıyır. İşarələri nöqtənin yerləşdiyi rübdən müəyyən et.
  • Əsas eynilik sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 şəklindədir. Həmçinin tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x\tan x=\sin x/\cos x, cot⁡x=cos⁡x/sin⁡x\cot x=\cos x/\sin x; hər nisbətdə məxrəc sıfırdan fərqli olmalıdır.
  • Çevirmə zamanı cos⁡(π/2−x)=sin⁡x\cos(\pi/2-x)=\sin x, sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x, cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x münasibətlərindən istifadə et.
  • Toplama düsturları: sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b və cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b.
  • İkiqat bucaq üçün sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x və cos⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 yazılır.
  • Tangens veriləndə asin⁡x+bcos⁡xcsin⁡x+dcos⁡x=atan⁡x+bctan⁡x+d\dfrac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}=\dfrac{a\tan x+b}{c\tan x+d} çevirməsi əlverişlidir. İlkin məxrəcin sıfır olmadığını yoxla.
  • Qiymətlər çoxluğu: x∈Rx\in\mathbb R üçün asin⁡x+bcos⁡xa\sin x+b\cos x ifadəsi [−R;R][-R;R], R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2} aralığını alır. Bu nəticə ifadənin Rsin⁡(x+φ)R\sin(x+\varphi) şəklinə gətirilməsindən alınır; R=0R=0 olduqda ifadə sıfırdır.
  • Dövr sinusla kosinusda 2π2\pi, tangenslə kotangensdə π\pi-dir. y=Asin⁡(bx+c)+dy=A\sin(bx+c)+d üçün amplitud ∣A∣|A|, dövr 2π/∣b∣2\pi/|b|, qiymətlər çoxluğu [d−∣A∣;d+∣A∣][d-|A|;d+|A|] olur; burada A≠0A\ne0, b≠0b\ne0.
  • Arksinus və arkkosinus yalnız [−1;1][-1;1] aralığındakı arqumentləri qəbul edir. arcsin⁡u∈[−π/2;π/2]\arcsin u\in[-\pi/2;\pi/2], arccos⁡u∈[0;π]\arccos u\in[0;\pi].
  • Ümumi həll: sin⁡x=a\sin x=a üçün x=(−1)karcsin⁡a+πkx=(-1)^k\arcsin a+\pi k; cos⁡x=a\cos x=a üçün x=±arccos⁡a+2πkx=\pm\arccos a+2\pi k. Burada ∣a∣≤1|a|\le1 olmalıdır. tan⁡x=a\tan x=a üçün x=arctan⁡a+πkx=\arctan a+\pi k; bütün hallarda k∈Zk\in\mathbb Z.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

cos⁡u=cos⁡α  ⟺  u=±α+360∘n,n∈Z\cos u=\cos\alpha\iff u=\pm\alpha+360^\circ n,\quad n\in\mathbb Z

Burada uu və α\alpha dərəcə ilə ölçülən bucaqlar, nn isə tam ədəddir. Arqumentin verilən aralığa uyğun qiymətlərini seç, sonra bucaq qarşısındakı əmsala bölərək kökləri tap və topla.

Öyrənilməli düstur

sin⁡(u+90∘)=cos⁡ucos⁡u=0  ⟺  u=90∘+180∘n,n∈Z\begin{gathered}\sin(u+90^\circ)=\cos u\\[6pt]\cos u=0\iff u=90^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z\end{gathered}

uu dərəcə ilə ölçülən bucaqdır; birinci bərabərlik sinuslu həddi kosinusla yazmağa imkan verir. Oxşar hədləri birləşdir, sonra kosinusun sıfırlarına uyğun bütün bucaqları müəyyən et.

Öyrənilməli düstur

sin⁡2α+cos⁡2α=1,tan⁡α=sin⁡αcos⁡αtan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\begin{gathered}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\[6pt]\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\end{gathered}

İkinci rübdəki α\alpha üçün kosinusun mənfi qiymətini seç və tangensi hesabla. İkiqat bucaq düsturunu tətbiq edərkən cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0 və 1−tan⁡2α≠01-\tan^2\alpha\ne0 şərtlərini nəzərə al.

Öyrənilməli düstur

y=asin⁡x+bcos⁡x,x∈Rymin⁡=−a2+b2,ymax⁡=a2+b2\begin{gathered}y=a\sin x+b\cos x,\quad x\in\mathbb R\\[6pt]y_{\min}=-\sqrt{a^2+b^2},\quad y_{\max}=\sqrt{a^2+b^2}\end{gathered}

aa və bb həqiqi əmsallardır; funksiya göstərilən sərhədlər arasındakı hər qiyməti alır. Natural qiymətləri seçərkən yuxarı sərhədi yuvarlaqlaşdırma, onunla natural ədədləri müqayisə et.

Öyrənilməli düstur

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\begin{gathered}\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[6pt]\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\end{gathered}

θ\theta verilən bucaqdır; sinus məlum olduqda birinci eynilik kosinusun modulunu tapmağa imkan verir. Üçüncü rüb kosinus üçün mənfi işarə tələb edir, sonra ikiqat bucağın sinusunu hesabla.

Öyrənilməli düstur

2sin⁡ucos⁡v=sin⁡(u+v)+sin⁡(u−v)2cos⁡usin⁡v=sin⁡(u+v)−sin⁡(u−v)\begin{gathered}2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)\\[6pt]2\cos u\sin v=\sin(u+v)-\sin(u-v)\end{gathered}

u=θ−φu=\theta-\varphi və v=θv=\theta götürərək tangenslə kotangensin hasilini sinus və kosinus nisbətləri ilə yaz. Bu düsturlarla surəti və məxrəci çevir; verilən sıfırdan fərqlilik şərti bölmənin mümkün olduğunu təmin edir.

Öyrənilməli düstur

asin⁡x+bcos⁡xcsin⁡x+dcos⁡x=atan⁡x+bctan⁡x+d\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}=\frac{a\tan x+b}{c\tan x+d}

a,b,c,da,b,c,d əmsallardır; bərabərlik cos⁡x≠0\cos x\ne0 və csin⁡x+dcos⁡x≠0c\sin x+d\cos x\ne0 olduqda doğrudur. Surəti və məxrəci kosinusa bölməklə ifadəni yalnız tangensdən asılı yaz və verilən qiyməti yerinə qoy.

Öyrənilməli düstur

(sin⁡α+cos⁡α)2=1+sin⁡2α(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha

α\alpha istənilən həqiqi bucaqdır; cəmin kvadratını açdıqda sinusla kosinusun kvadratları birə, ikiqat hasili isə ikiqat bucağın sinusuna çevrilir. Verilən cəmi kvadrata yüksəldərək axtarılan ifadəni ayır.

Öyrənilməli düstur

cos⁡(90∘−u)=sin⁡usin⁡u=0  ⟺  u=180∘n,n∈Z\begin{gathered}\cos(90^\circ-u)=\sin u\\[6pt]\sin u=0\iff u=180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z\end{gathered}

uu dərəcə ilə ölçülən bucaqdır; tamamlayıcı bucağın kosinusu onun sinusuna bərabərdir. Kosinuslu həddi bu yolla çevir, alınan sinusun sıfırlarından istifadə edərək naməlum bucağı ayır.

Öyrənilməli düstur

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βsin⁡2β=2sin⁡βcos⁡β\begin{gathered}\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[6pt]\sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta\end{gathered}

α\alpha və β\beta bucaqlardır; ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra surətdəki fərqi bir sinusla ifadə et. Məxrəcdə ikiqat bucaq düsturundan istifadə edərək sıfırdan fərqli ortaq vuruğu ixtisar et.

Öyrənilməli düstur

sin⁡(π−u)=sin⁡usin⁡2u=2sin⁡ucos⁡usin⁡2u+cos⁡2u=1\begin{gathered}\sin(\pi-u)=\sin u\\[6pt]\sin2u=2\sin u\cos u\\[6pt]\sin^2u+\cos^2u=1\end{gathered}

uu radianla ölçülən bucaqdır; çevirmə və ikiqat bucaq düsturları müxtəlif arqumentli hədləri eyni bucağın funksiyaları ilə yazmağa kömək edir. Ortaq vuruğu ayırıb mötərizəni sadələşdir, sonra eyniliyin bütün bucaqlarda ödənməsi üçün qüvvət göstəricilərini müqayisə et.

Öyrənilməli düstur

asin⁡x+bcos⁡x=0 ⟺ tan⁡x=−ba(a≠0)x=arctan⁡ ⁣(−ba)+πk,k∈Z\begin{gathered}a\sin x+b\cos x=0\ \Longleftrightarrow\ \tan x=-\frac{b}{a}\quad(a\ne0)\\[6pt]x=\arctan\!\left(-\frac{b}{a}\right)+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\end{gathered}

aa və bb sabit əmsallardır; a≠0a\ne0 olduqda kosinusu sıfır olan bucaq bu tənliyi ödəmir, buna görə kosinusa bölmək olar. Alınan tangens tənliyinin bütün kökləri bir kökə π\pi-nin tam misillərini əlavə etməklə yazılır.

Öyrənilməli düstur

sin⁡x=0 ⟺ x=πk,k∈Zcos⁡(πk)=(−1)k\begin{gathered}\sin x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\\[6pt]\cos(\pi k)=(-1)^k\end{gathered}

kk tam ədəddir və onun cüt, yaxud tək olması kosinusun işarəsini müəyyənləşdirir. Surətin sıfır olduğu bucaqlardan məxrəci də sıfırlayanları çıxar, sonra verilmiş parçaya daxil olanları say.

Öyrənilməli düstur

tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x,sin⁡xcos⁡x≠0\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x},\quad \sin x\cos x\ne0

Bu eynilik tangenslə kotangensin cəmini ikiqat bucağın sinusu vasitəsilə ifadə edir. Alınan sinus tənliyində 2x2x üçün aralığı da ikiqat böyüt, bütün uyğun kökləri tapıb xx-ə qayıt və cəmlə.

Öyrənilməli düstur

cos⁡(90∘−α)=sin⁡α2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α\begin{gathered}\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\\[6pt]2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha\end{gathered}

α\alpha dərəcə ilə ölçülən bucaqdır; cəmi düz bucaq olan iki bucağın kosinus hasilini bu düsturlarla ikiqat bucağın sinusuna çevir. Məxrəci də uyğun sinusla yazaraq kəsri ixtisar et, sonra köklü vuruqlara kvadratlar fərqini tətbiq et.

Öyrənilməli düstur

cos⁡((2m+1)π±α)=−cos⁡α,m∈Zcos⁡x=a ⟺ x=±arccos⁡a+2πk,∣a∣≤1, k∈Z\begin{gathered}\cos((2m+1)\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha,\quad m\in\mathbb{Z}\\[6pt]\cos x=a\ \Longleftrightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi k,\quad |a|\le1,\ k\in\mathbb{Z}\end{gathered}

mm və kk tam ədədlərdir, aa isə kosinusun verilən qiymətidir. Əvvəl kosinusların arqumentlərini çevirmə düsturu ilə sadələşdir, sonra alınan tənlik üçün həm müsbət, həm də mənfi arkkosinusdan başlayan kök ailələrini yaz.

Öyrənilməli düstur

α=arctan⁡a ⟹ tan⁡α=a,−π2<α<π2sin⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡2α\begin{gathered}\alpha=\arctan a\ \Longrightarrow\ \tan\alpha=a,\quad -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\\[6pt]\sin 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\end{gathered}

aa həqiqi ədəd, α\alpha isə onun arktangensidir. İkiqat bucağın sinusunu tangenslə ifadə etdikdə bucağın özünü təqribi hesablamağa ehtiyac qalmır; yuvarlaqlaşdırmanı sonda apar.

Öyrənilməli qayda

Arksinus yalnız arqumenti [−1;1][-1;1] aralığında olduqda həqiqi qiymət alır, kvadrat kök üçün isə kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır. Hər iki məhdudiyyəti ödəyən xx qiymətlərini müəyyənləşdir, sonra alınan aralığın sərhədlərini topla.

asin⁡x+bcos⁡xa\sin x+b\cos x hansı sərhədlər arasında dəyişir?

Əmsalları dəyiş və ifadənin ən böyük və ən kiçik qiymətinə bax. Katetləri aa və bb olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu elə R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}-dir.

Nümunələr

1

0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le180^\circ aralığında sin⁡2x=3/2\sin2x=\sqrt3/2 tənliyini həll et. Əvvəl 0∘≤2x≤360∘0^\circ\le2x\le360^\circ yaz. Burada 2x=60∘2x=60^\circ və ya 2x=120∘2x=120^\circ alınır. İkiyə böldükdə köklər 30∘30^\circ və 60∘60^\circ olur.

2

y=2sin⁡x+3cos⁡xy=2\sin x+3\cos x funksiyasının natural qiymətlərini tap. R=13R=\sqrt{13} olduğundan y∈[−13;13]y\in[-\sqrt{13};\sqrt{13}]. 3<13<43<\sqrt{13}<4 müqayisəsi göstərir ki, uyğun ədədlər 11, 22, 33-dür.

3

y=arcsin⁡(2−x−1)y=\arcsin(2-\sqrt{x-1}) funksiyasının təyin oblastını tap. Kökaltı ifadə üçün x≥1x\ge1, arksinus üçün −1≤2−x−1≤1-1\le2-\sqrt{x-1}\le1 tələb olunur. Buradan 1≤x−1≤31\le\sqrt{x-1}\le3, sonra 2≤x≤102\le x\le10 alınır. Deməli, təyin oblastı [2;10][2;10]-dur.

4
tan⁡x=2\tan x=2 olduqda sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} ifadəsinin qiymətini tap.
Həllə bax
  1. Tangens verilib, deməli cos⁡x≠0\cos x\ne0. Surəti və məxrəci cos⁡x\cos x-ə böl: tan⁡x+1tan⁡x−1\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1}.
  2. İlkin məxrəci yoxla: sin⁡x−cos⁡x=0\sin x-\cos x=0 olsaydı, tan⁡x=1\tan x=1 alınardı. Bizdə tan⁡x=2\tan x=2-dir, deməli məxrəc sıfır deyil.
  3. Qiyməti yerinə qoy: 2+12−1=3\dfrac{2+1}{2-1}=3.

33

Tipik səhv

sin⁡xcos⁡x=cos⁡x  ⇒  sin⁡x=1  ⇒  x=π/2+2πk\sin x\cos x=\cos x\;\Rightarrow\;\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\pi/2+2\pi k

cos⁡x(sin⁡x−1)=0  ⇒  cos⁡x=0\cos x(\sin x-1)=0\;\Rightarrow\;\cos x=0 və ya sin⁡x=1  ⇒  x=π/2+πk, k∈Z\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\pi/2+\pi k,\ k\in\mathbb Z

Tənliyi sinus və ya kosinusa bölməzdən əvvəl həmin ifadənin sıfır olduğu halı ayrıca yoxla; yoxsa burada olduğu kimi x=−π/2+2πkx=-\pi/2+2\pi k köklərini itirə bilərsən.

Başqa iki tələ də var. Arqument 2x2x olduqda aralığı da ikiqat götür. Natural qiymətləri seçərkən sərhədi yuvarlaqlaşdırma, dəqiq bərabərsizlikdən istifadə et.

Özünü yoxla

sin⁡x=−513\sin x=-\dfrac{5}{13} və π<x<3π2\pi<x<\dfrac{3\pi}{2} olduqda sin⁡2x\sin 2x-in qiymətini tap.

x∈Rx\in\mathbb R üçün y=−3sin⁡2x+1y=-3\sin 2x+1 funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

[0;π][0;\pi] aralığında sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x-1)=0 tənliyinin bütün köklərini seç.

Triqonometriyanı tapşırıqlarda sına

Triqonometriya tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Dönmə bucaqları», səh. 71
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bucağın radian və dərəcə ölçüsü», səh. 74
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi», səh. 77
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Xətti sürət, bucaq sürəti», səh. 79
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik funksiyalar», səh. 81
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Vahid çevrə və triqonometrik funksiyalar», səh. 85
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Çevirmə düsturları», səh. 94
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik eyniliklər», səh. 99
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturları», səh. 103
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 112
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Dövri funksiyalar», səh. 134
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = sin x və y = cos x funksiyalarının qrafikləri», səh. 137
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = sin x və y = cos x funksiyalarının qrafiklərinin çevrilmələri», səh. 141
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik funksiyalar və dövri hadisələr», səh. 153
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = tan x və y = cot x funksiyalarının qrafikləri», səh. 158
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Tərs triqonometrik funksiyalar», səh. 195
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Sadə triqonometrik tənliklər», səh. 199
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik tənliklərin həll üsulları», səh. 208
  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli», səh. 213