Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Bucağın dərəcə və radian ölçüsü: birindən digərinə necə keçmək

Bucağı dərəcədən radiana, radiandan dərəcəyə səhvsiz çevirməyi və qövsün uzunluğunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: küçədə dayanmış velosipedin ön təkəri yandan görünür.

Kalkulyatorda $\sin 30$ yaz. Cavab $0{,}5$ olmalıdır, amma bəzən ekranda $-0{,}988$ kimi qəribə bir ədəd görünür. Kalkulyator xarab deyil: sadəcə RAD rejimindədir və $30$ -u dərəcə yox, radian kimi oxuyur.

Velosiped təkəri də radianla daha rahat hesablanır. Radiusu $r$ olan təkər sürüşmədən $\alpha$ radian dönəndə velosiped düz $\alpha r$ qədər irəli gedir. Dərəcə ilə eyni düsturda əlavə $\frac{\pi}{180}$ vuruğu peyda olur.

Yəni bucağın iki dili var: gündəlik həyatda işlənən dərəcə və riyaziyyatda işlənən radian. Bu mövzu bir dildən o birinə səhvsiz tərcümə etməyi öyrədir.

Niyə lazımdır

Triqonometrik funksiyalarda və tənliklərdə bucaq çox vaxt radianla yazılır, amma dərəcə ölçüsü də geniş işlənir. Ona görə bir ölçüdən digərinə keçməyi bilmək vacibdir: $\frac{\pi}{6}$ ilə $30^\circ$ -nin eyni bucaq olduğunu dərhal tanıyanda çevirmə tapşırıqları xeyli asanlaşır.

İmtahanda bu çevirmə çox vaxt böyük məsələnin içində kiçik bir addım olur. Bu addımda yanılsan, qalan hesabın hamısı düz olsa belə, cavab səhv çıxacaq. Ona görə çevirməni avtomatik etməyi öyrənmək lazımdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzunun tapşırıqları əsasən bucağın bir ölçü vahidindən digərinə keçirilməsini yoxlayır: dərəcə ilə verilmiş bucağı radianla yazmaq və ya əksinə. Çox vaxt bu çevirmə daha böyük məsələnin bir addımı olur: üçbucağın bir bucağı radianla, digər şərt isə dərəcə ilə verilir və cavab radianla istənir; yaxud çevrə üzrə hərəkət edən nöqtə ardıcıl olaraq radianla verilmiş bucaqlar qədər dönür və başlanğıc ilə son vəziyyət arasındakı bucağın dərəcə ölçüsü soruşulur. Qövsün uzunluğu ilə radiusun nisbəti, son tərəfləri üst-üstə düşən bucaqlar və bucağın hansı rübdə yerləşməsi haqqında suallara da rast gəlmək olar.

Qayda

Mərkəzi bucağın radian ölçüsü ona uyğun qövsün uzunluğunun radiusa nisbətidir: $\alpha=\frac{l}{r}$ , buradan $l=\alpha r$ .
Tam dönmə $360^\circ$ , yaxud $2\pi$ radiandır; deməli, $\pi=180^\circ$ .
Dərəcədən radiana keçmək üçün dərəcə ölçüsü $\frac{\pi}{180}$ -ə, radiandan dərəcəyə keçmək üçün isə radian ölçüsü $\frac{180^\circ}{\pi}$ -yə vurulur.
$1$ radian $\approx57^\circ$ . $\pi$ işarəsi olmadan verilən bucağın rübünü tapmaq üçün onu $\frac{\pi}{2}\approx1{,}57$ , $\pi\approx3{,}14$ , $\frac{3\pi}{2}\approx4{,}71$ , $2\pi\approx6{,}28$ ədədləri ilə müqayisə edirik.
$\alpha$ və $\alpha+2\pi n$ ( $n$ tam ədəddir) bucaqlarının son tərəfləri eynidir.
$\alpha=\frac{l}{r}$ , $l=\alpha r$

Özünü yoxla: çevir

Hər sualda cavabı ədəd kimi yaz. Əvvəl özün hesabla, sonra həllə bax.

Nümunələr

Dərəcə ölçüsü

252^\circ

olan bucağı radianla ifadə et.

Həllə bax

Həlli: $252\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{5}$ .

Radiusu $5$ sm olan çevrədə mərkəzi bucaq $2{,}4$ radiandır. Ona uyğun qövsün uzunluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $l=\alpha r=2{,}4\times5=12$ sm.

$[0;\,2\pi)$ aralığında son tərəfi $\frac{29\pi}{4}$ bucağının son tərəfi ilə eyni olan bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{29\pi}{4}-3\times2\pi=\frac{29\pi-24\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ , yəni $225^\circ$ ; bu bucaq III rübdədir.

Tipik səhv

$90^\circ=90\times\frac{\pi}{360}=\frac{\pi}{4}$

$90^\circ=90\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$

Ən çox rast gəlinən səhv çevirmədə $180$ əvəzinə $360$ götürməkdir: $\pi$ radian tam dönmə deyil, yarım dönmədir. İkinci səhv $\pi$ olmadan yazılmış ədədi dərəcə kimi oxumaqdır: $3$ radian təxminən $172^\circ$ -dir, $3^\circ$ deyil.

Dönmələr ardıcıl verildikdə əks istiqamətli dönmə çıxılır, sonra tam dövrlər atılır; alınan $\varphi$ bucağı $\pi$ -dən böyükdürsə, kiçik bucaq $2\pi-\varphi$ olur. Cavabı dərəcəyə çevirib ağlabatan olub-olmadığını yoxlamaq səhvlərin çoxunu aşkar edir.

Özünü sına

$126^\circ$ bucağı radianla ifadə et.

$\frac{11\pi}{12}$ radian olan bucaq neçə dərəcədir?

Radiusu $8$ sm olan çevrədə mərkəzi bucaq $135^\circ$ -dir. Bu bucağa uyğun qövsün uzunluğunu tap.

Bu mövzu üzrə sınaqda özünü yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bucağın radian və dərəcə ölçüsü», səh. 74