Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Vahid çevrə: nöqtənin koordinatları, sinus və kosinus

Vahid çevrədə istənilən bucağa uyğun nöqtəni tapmağı, sinusla kosinusun işarəsini rübə görə seçməyi və simmetrik nöqtələrlə işləməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: küçədə dayanmış velosiped təkəri, çənbərdə ventil görünür.

Velosiped təkərinin ventilinə bax. Təkər fırlananda ventil gah yuxarı qalxır, gah aşağı enir, gah oxdan irəlidə, gah geridə olur. Bir tam dövrədən sonra isə hər şey yenidən təkrarlanır.

Riyaziyyat bu hərəkəti çevrə ilə təsvir edir. Radiusu $1$ olan çevrə üzərində nöqtə dönür: onun üfüqi vəziyyəti kosinus, hündürlüyü sinusdur. Radius $1$ olanda heç nəyi vurmağa, bölməyə ehtiyac qalmır: koordinatlar elə bucağın kosinusu və sinusudur.

Bir də kiçik detal var: saatın əqrəbləri bir tərəfə fırlanır, riyaziyyatda müsbət dönmə isə əks tərəfədir. Bunu indidən yadda saxlasan, tipik səhvlərdən birini artıq qabaqlamış olursan.

Niyə lazımdır

Vahid çevrə triqonometriyanın xəritəsidir. Sinus və kosinusun qiymətlərini cədvəldən əzbərləmək əvəzinə onları çevrədən oxuyursan: işarəni rüb deyir, simmetrik nöqtələr isə $\frac{5\pi}{4}$ kimi bucaqları tanış $\frac{\pi}{4}$ -ə gətirir.

Triqonometrik tənliklər də elə bu şəkil üzərində qurulur. İmtahanda çevrəni gözünün önünə gətirmək çox vaxt uzun hesablamanı bir-iki sətrə endirir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda adətən koordinatlarından biri məlum olan nöqtənin vahid çevrə üzərində yerləşdiyi deyilir və digər koordinat, yaxud parametrin mümkün qiymətləri soruşulur. Bəzən çevrə üzərindəki nöqtəyə görə $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ və ya onlardan düzəldilmiş ifadəni hesablamaq lazım gəlir. Çevrə boyunca bir neçə dönmə ilə hərəkət edən nöqtənin son vəziyyətini və ya alınan mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsünü tapmaq da tez-tez verilir. Sinus və kosinusun $[-1;\,1]$ parçasından çıxmamasına əsaslanan, ifadənin ən böyük və ən kiçik qiymətini soruşan suallar da bu mövzuya aiddir.

Qayda

Vahid çevrənin mərkəzi $O(0;\,0)$ , radiusu $1$ -dir; onun nöqtələri $x^2+y^2=1$ tənliyini ödəyir.
$A(1;\,0)$ nöqtəsini $\alpha$ radian döndərdikdə alınan nöqtə $P(\alpha)=(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ -dır: absis kosinusa, ordinat sinusa bərabərdir. Saat əqrəbinin əksinə dönmə müsbət, saat əqrəbi istiqamətində dönmə mənfi bucaq verir.
$\tan\alpha=\frac{y}{x}$ $(x\ne0)$ , $\cot\alpha=\frac{x}{y}$ $(y\ne0)$ .
İşarələr: I rübdə $x>0,\ y>0$ ; II rübdə $x<0,\ y>0$ ; III rübdə $x<0,\ y<0$ ; IV rübdə $x>0,\ y<0$ .
$P(\alpha+2\pi k)=P(\alpha)$ , $k\in\mathbb{Z}$ . $P(\alpha)=(x;\,y)$ olarsa, $P(-\alpha)=(x;\,-y)$ , $P(\pi-\alpha)=(-x;\,y)$ , $P(\pi+\alpha)=(-x;\,-y)$ .
İstənilən $\alpha$ üçün $-1\le\sin\alpha\le1$ və $-1\le\cos\alpha\le1$ .
$P(\alpha)=(\cos\alpha;\sin\alpha)$

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

\cos\alpha=x,\ \ \sin\alpha=y,\ \ \tan\alpha=\frac{y}{x}

$\alpha$ bucağına vahid çevrədə $(x;y)$ nöqtəsi uyğundur. Kosinusun işarəsi $x$ -in, tangensin işarəsi isə $y$ ilə $x$ -in işarələrinin nisbətinin işarəsi ilə eynidir, IV rübdə $x>0$ , II rübdə $x<0$ və $y>0$ olur.

Nöqtəni çevrə boyunca fırlat

Bucağı dəyiş və bax: $P(\alpha)$ nöqtəsinin koordinatları hansı rübdə hansı işarəni alır? Burada bucaq dərəcə ilə verilir: $90^\circ$ elə $\frac{\pi}{2}$ , $180^\circ$ isə $\pi$ -dir.

Nümunələr

P\left(\frac{5\pi}{4}\right)

nöqtəsinin koordinatlarını tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}$ , nöqtə III rübdədir, uyğun iti bucaq $\frac{\pi}{4}$ -dür. Cavab: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Vahid çevrə üzərində $\alpha$ bucağına uyğun $(x;\,0{,}6)$ nöqtəsi II rübdədir. $\tan\alpha$ -nı tap.

Həllə bax

Həlli: $x^2=1-0{,}36=0{,}64$ ; II rübdə $x<0$ , deməli, $x=-0{,}8$ və $\tan\alpha=\frac{0{,}6}{-0{,}8}=-0{,}75$ .

$2-5\sin\alpha$ ifadəsi hansı ən böyük və ən kiçik qiymətləri ala bilər?

Həllə bax

Həlli: $-1\le\sin\alpha\le1$ bərabərsizliyini $-5$ -ə vuranda işarələr dəyişir: $-5\le-5\sin\alpha\le5$ . Hər tərəfə $2$ əlavə etsək, $-3\le2-5\sin\alpha\le7$ alınır. Ən böyük qiymət $7$ , ən kiçik qiymət $-3$ -dür.

P\left(\frac{17\pi}{3}\right)

nöqtəsinin koordinatlarını tap.

Həllə bax

Tam dövrələri at: $\frac{17\pi}{3}=4\pi+\frac{5\pi}{3}$ , $4\pi$ isə iki tam dövrədir. Deməli, $P\left(\frac{17\pi}{3}\right)=P\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ .
$\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}$ , ona görə də $P\left(\frac{5\pi}{3}\right)=P\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ .
$P\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2};\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . $P(-\alpha)$ nöqtəsində absis eyni qalır, ordinat isə işarəsini dəyişir.
Yoxlama: nöqtə IV rübdədir, orada $x>0,\ y<0$ , yəni işarələr düz çıxır.

$\left(\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Tipik səhv

$x^2=0{,}64$ , deməli, $x=0{,}8$ (nöqtə II rübdə olsa da).

$x^2=0{,}64$ , deməli, $x=0{,}8$ və ya $x=-0{,}8$ ; II rübdə $x<0$ , ona görə də $x=-0{,}8$ .

Kökün işarəsini rüb seçir, ona görə də əvvəlcə nöqtənin hansı rübdə olduğunu yoxla. Eyni diqqət daha iki yerdə lazımdır: absis $\cos\alpha$ , ordinat $\sin\alpha$ -dır, onların yerini qarışdırma; saat əqrəbi istiqamətində dönməni müsbət saymaq da yanlış nöqtəyə gətirir.

Nəhayət, ifadədə $\sin\alpha$ mənfi əmsalla iştirak edirsə, ifadənin ən böyük qiyməti $\sin\alpha=-1$ olduqda alınır.

Özünü yoxla

Vahid çevrədə $P(\alpha)=\left(\frac{5}{13};\,y\right)$ nöqtəsi IV rübdədir. $\sin\alpha$ -nı tap.

$P(\alpha)=(x;\,y)$ olarsa, $P(\pi-\alpha)$ nöqtəsinin koordinatlarını seç.

Vahid çevrədə $A(1;\,0)$ nöqtəsini saat əqrəbi istiqamətində $450^\circ$ döndərsən, alınan nöqtənin koordinatları nə olar?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Vahid çevrə və triqonometrik funksiyalar», səh. 85