Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Əsas triqonometrik eyniliklər: ifadəni sadələşdirmək

Bir triqonometrik funksiyanın qiymətindən qalanlarını tapmağı və uzun ifadəni bir neçə addımda sadələşdirməyi öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: həyətdə kərpic divara söykənmiş taxta nərdivan.

Divara söykənmiş nərdivana bax. Altını divardan uzaqlaşdıranda yuxarı ucu aşağı sürüşür, yaxınlaşdıranda yenə qalxır. Nərdivanın uzunluğu isə dəyişmir. Ona görə Pifaqor teoremi hər vəziyyətdə işləyir: hündürlüyün kvadratı ilə divardan məsafənin kvadratının cəmi həmişə uzunluğun kvadratına bərabərdir.

İndi bu bərabərliyi nərdivanın uzunluğunun kvadratına böl. Nərdivanla yer arasındakı bucağı $\alpha$ ilə işarə edək. Hündürlüyün uzunluğa nisbəti bu bucağın sinusudur, məsafənin uzunluğa nisbəti isə kosinusu. Pifaqor bərabərliyi beləcə $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ olur.

Bu bir sətir bütün mövzunun açarıdır. Bir funksiyanın qiymətini və bucağın rübünü bilirsənsə, qalanlarını da tapa bilərsən. İşarəni rüb deyir, ona görə ondan gözünü ayırma.

Niyə lazımdır

Sadələşdirmə tapşırığında uzun və qorxulu görünən kəsr çox vaxt iki-üç addımda ədədə, ya da $\tan^2\alpha$ kimi qısa ifadəyə çevrilir. Eynilikləri yaxşı tanıyırsansa, ifadənin içində gizlənmiş $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ cəmini dərhal görürsən və imtahanda vaxtını uzun hesablamaya xərcləmirsən.

Bu eyniliklər triqonometrik tənlikləri həll edəndə də lazım olur: tənlikdə həm sinus, həm kosinus varsa, birini digəri ilə əvəz edib tənliyi bir funksiyalı tənliyə gətirirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən çox rast gəlinən tapşırıq triqonometrik ifadəni sadələşdirməkdir: cavab ya ədəd olur, yəni ifadənin qiyməti bucaqdan asılı olmur, ya da $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\tan^2\alpha$ kimi qısa ifadə. Başqa tapşırıqlarda bir funksiyanın qiyməti və bucağın yerləşdiyi rüb verilir, qalan funksiyalardan biri soruşulur. Tez-tez $\tan\alpha$ və ya $\cot\alpha$ məlum olur və sinus ilə kosinusdan düzəlmiş kəsrin qiymətini hesablamaq lazım gəlir. Çətin suallarda $\sin\alpha+\cos\alpha$ , $\sin\alpha-\cos\alpha$ və ya $\tan\alpha+\cot\alpha$ verilir, hasil və ya kvadratlar cəmi kimi ifadələr tapılır; bəzən ifadənin qiymətlər çoxluğu da soruşulur.

Qayda

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ istənilən $\alpha$ üçün doğrudur.
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ , $\tan\alpha\times\cot\alpha=1$ .
$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ , $1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$ .
$(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$ ; $\tan\alpha+\cot\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$ .
Kvadratı kökün altından çıxaranda modul yazılır: $\sqrt{\sin^2\alpha}=|\sin\alpha|$ . İşarəni rüb həll edir: I rübdə bütün funksiyalar müsbətdir, II rübdə yalnız sinus, III rübdə tangens və kotangens, IV rübdə isə yalnız kosinus müsbətdir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}

Eyni $\alpha$ bucağının sinus, kosinus və tangensi bu iki eynilikdə bağlıdır. Burada $\tan^2\alpha+1$ kosinusun kvadratının tərsinə çevrilir, $4\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha$ isə $4$ verir.

Öyrənilməli düstur

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \tan\alpha\times\cot\alpha=1

Eyni $\alpha$ bucağının sinus və kosinusunun kvadratları cəmi 1-dir, tangens və kotangensin hasili də 1-dir. İki mötərizəni açdıqdan sonra bu iki eynilik ifadəni ədədə çevirir.

Öyrənilməli düstur

\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)

Əsas eyniliyə görə $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , deməli $\cos^2\alpha$ iki vuruğun hasilinə çevrilir. Bu vuruqlardan biri hər kəsrin məxrəci ilə ixtisar olunur.

Öyrənilməli düstur

(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha

Cəmin kvadratını açdıqda $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ ifadəsi 1 olur, ikiqat hasil isə qalır. Bu tapşırıqda $1{,}4^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha$ yazıb hasili tap.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\quad 1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\\[6pt] \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{gathered}

Məxrəclər $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ və $\frac{1}{\sin^2\alpha}$ -ya bərabər olduğundan kəsrlər $4\cos^2\alpha$ və $5\sin^2\alpha$ olur. Sonra $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ eyniliyindən istifadə et.

Öyrənilməli düstur

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Bu eynilik istənilən $\alpha$ bucağı üçün doğrudur. Burada dördüncü dərəcələr fərqi kvadratlar fərqi kimi vuruqlara ayrılır, sonra eynilik tətbiq olunub $\alpha$ ifadədən çıxır.

Bucağı dəyiş, cəmə bax

Sürgünü hərəkət etdir: bucaq dörd rübün hamısından keçir. Sinus, kosinus və tangensin həm qiyməti, həm də işarəsi dəyişir, kvadratların cəmi isə yerində qalır.

Nümunələr

\sin\alpha=-0{,}28

və

\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi

olarsa,

\cot\alpha

-nı tap.

Həllə bax

Həlli: $\cos^2\alpha=1-0{,}0784=0{,}9216$ ; IV rübdə kosinus müsbətdir, ona görə $\cos\alpha=0{,}96$ . Onda $\cot\alpha=\frac{0{,}96}{-0{,}28}=-\frac{24}{7}$ .

IV rübdə işarəni saxla
Funksiya	Qiymət
$\sin\alpha$	$-0{,}28$
$\cos\alpha$	$0{,}96$
$\cot\alpha$	$-\frac{24}{7}$

$\tan\alpha=4$ olarsa, $\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: ifadəni $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ cəminə bölək, sonra surəti və məxrəci $\cos^2\alpha$ -ya bölək: $\frac{\tan^2\alpha-\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}=\frac{16-4}{17}=\frac{12}{17}$ .

$\tan\alpha+\cot\alpha=-5$ olarsa, $\sin\alpha\cos\alpha$ hasilini tap.

Həllə bax

Həlli: $\tan\alpha+\cot\alpha=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$ , deməli, $\sin\alpha\cos\alpha=-0{,}2$ . Hasilin modulu $\frac{1}{2}$ -dən böyük olmadığı üçün belə bucaq doğrudan da var.

Tipik səhv

$\cos\alpha=-0{,}6$ və $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$ olarsa, $\sin\alpha=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$

$\sin\alpha=-\sqrt{1-0{,}36}=-0{,}8$ , çünki III rübdə sinus mənfidir. Yoxlama: $(-0{,}8)^2+(-0{,}6)^2=0{,}64+0{,}36=1$ .

Ən çox buraxılan səhv kökü açanda və ya $\cos^2\alpha$ -dan $\cos\alpha$ -ya keçəndə işarəni unutmaqdır. $\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ həmişə $\sin\alpha$ -ya bərabər deyil, o, $|\sin\alpha|$ -dır və işarəni bucağın rübü müəyyən edir.

Daha iki səhvə də fikir ver. $1+\tan^2\alpha$ və $1+\cot^2\alpha$ düsturlarını qarışdırma: tangens kosinusla, kotangens isə sinusla bağlıdır. $\tan\alpha$ verilibsə, kəsrdəki sərbəst həddi olduğu kimi saxlama: surəti və məxrəci $\cos^2\alpha$ -ya bölməzdən əvvəl $1$ -i $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ kimi yaz. Tapdığın qiymətləri $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ bərabərliyində yerinə qoyub yoxlamaq da faydalıdır.

Özünü yoxla

$\cos\alpha\ne0$ olduqda $(1+\tan^2\alpha)(1-\sin^2\alpha)$ ifadəsini sadələşdir.

$\cos\alpha=-\frac{12}{13}$ və $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ olarsa, $\sin\alpha$ -nı tap.

$\sin\alpha-\cos\alpha=0{,}4$ olarsa, $\sin\alpha\cos\alpha$ hasilini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik eyniliklər», səh. 99
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.6 «Düzbucaqlı üçbucaqda bəzi bucaqların triqonometrik nisbətləri», səh. 120