Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Triqonometrik funksiyaların xassələri və qrafikləri: dövr və qiymətlər

Bu səhifədən sonra sinus, kosinus, tangens və kotangensin dövrünü, qiymətlər çoxluğunu və harada artıb-azaldığını tez tapacaqsan.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: axşam çağı şəhər parkında böyük dönən çarx.

Şəhər parkındakı böyük dönən çarxı xatırla. Kabinə qalxır, ən yuxarı nöqtəyə çatır, enir, ən aşağıdan keçir və hər şey təzədən başlayır. Hər tam dövrdən sonra kabinə yenə eyni hündürlükdə olur.

Çarx bərabər sürətlə fırlananda kabinənin hündürlüyünün zamandan asılılıq qrafiki sinusoid olur. Burada iki şey dərhal görünür: hündürlük ən aşağı və ən yuxarı nöqtə arasından çıxmır, hərəkət də müəyyən vaxtdan sonra təkrarlanır. Riyaziyyatda bunlara qiymətlər çoxluğu və dövr deyirlər.

Bu şəkil sinusoidin dövrünü və qiymətlər çoxluğunu anlamağa kömək edir. Qaydanı bir dəfə qrafikdə görsən, onu yadda saxlamaq xeyli asan olur.

Niyə lazımdır

Bu xassələr çox məsələdə köməyə gəlir. Tənliyin həlli varmı, ifadə ən çoxu neçəyə bərabər ola bilər, iki bucağın sinusundan hansı böyükdür: bunlara hesablamadan, sadəcə qrafikə baxıb cavab verə bilərsən.

İmtahanda belə suallar çox vaxt bir-iki sətirlik olur. Qrafiki gözünün önünə gətirə bilsən, vaxta qənaət edirsən. Fizikada rəqslər və dalğalar da elə bu funksiyalarla yazılır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Testlərdə adətən bir xassə yoxlanılır: $\sin x$ və ya $\cos x$ daxil olan ifadənin qiymətlər çoxluğunu, ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq, $\tan kx$ , $\cos^2kx$ kimi funksiyaların əsas dövrünü hesablamaq, verilmiş rübdə artan və ya azalan funksiyanı seçmək, təyin oblastına görə funksiyanı tanımaq, tək və ya cüt funksiyanı göstərmək. Bundan başqa, radianla və dərəcə ilə verilmiş bucaqların sinus, kosinus, tangens qiymətlərini müqayisə etmək, parametrli tənlikdə həllin olduğu qiymətləri tapmaq (bəzən $x$ müəyyən parçadan götürülür) və qrafiklərin kəsişmə nöqtələri ilə bağlı məsələlər də verilir.

Qayda

$y=\sin x$ : bütün ədəd oxunda təyin olunub, qiymətləri $[-1;\,1]$ parçasındadır, tək funksiyadır, əsas dövrü $2\pi$ -dir, sıfırları $x=\pi n$ ; $\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$ parçalarında artır.
$y=\cos x$ : bütün ədəd oxunda təyin olunub, qiymətləri $[-1;\,1]$ parçasındadır, cüt funksiyadır, əsas dövrü $2\pi$ -dir, sıfırları $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ ; $[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$ parçalarında artır, $[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$ parçalarında azalır.
$y=\tan x$ : $x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n$ , istənilən həqiqi qiyməti alır, tək funksiyadır, əsas dövrü $\pi$ -dir, sıfırları $x=\pi n$ , iki qonşu asimptot arasında artır.
$y=\cot x$ : $x\ne\pi n$ , istənilən həqiqi qiyməti alır, tək funksiyadır, əsas dövrü $\pi$ -dir, sıfırları $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ , iki qonşu asimptot arasında azalır.
$k\ne0$ olduqda $\sin kx$ və $\cos kx$ funksiyalarının əsas dövrü $\frac{2\pi}{|k|}$ , $\tan kx$ və $\cot kx$ funksiyalarınınkı isə $\frac{\pi}{|k|}$ -dir (hər yerdə $n\in\mathbb{Z}$ ).

Özünü yoxla

Hər sualda bir düzgün cavab var. Qaydaya və qrafikə əsaslan.

Nümunələr

y=5-3\cos^2x

funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $0\le\cos^2x\le1$ , ona görə $0\le3\cos^2x\le3$ və $2\le y\le5$ . Cavab: $[2;\,5]$ .

$y=\cot\frac{x}{3}$ və $y=\sin\frac{x}{3}$ funksiyalarının əsas dövrlərini tap.

Həllə bax

Həlli: kotangens üçün $T=\pi:\frac{1}{3}=3\pi$ , sinus üçün $T=2\pi:\frac{1}{3}=6\pi$ .

$[0;\,2\pi]$ parçasında $\sin x=-0{,}7$ tənliyinin neçə kökü var?

Həllə bax

Həlli: sinusoid bu parçada $-0{,}7$ qiymətini iki dəfə alır: bir dəfə $\left(\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right)$ , bir dəfə də $\left(\frac{3\pi}{2};\,2\pi\right)$ aralığında. Cavab: 2 kök.

0 ilə 2π arasında y = sin x əyrisi y = −0,7 üfüqi xəttini iki dəfə kəsir. Üfüqi ox radiandır. — $[0;2\pi]$ : $\sin x=-0{,}7$ üçün iki kəsişmə. Üfüqi ox radiandır.

x\in\left[\frac{\pi}{6};\,\pi\right]

olduqda

y=\sin x

funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Həllə bax

$\left[\frac{\pi}{6};\,\frac{\pi}{2}\right]$ parçasında sinus artır: $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ qiymətindən $\sin\frac{\pi}{2}=1$ qiymətinə qədər.
$\left[\frac{\pi}{2};\,\pi\right]$ parçasında sinus azalır: $1$ -dən $\sin\pi=0$ qiymətinə qədər.
Deməli, ən kiçik qiymət $0$ , ən böyük qiymət $1$ -dir. Diqqət et: $\frac{1}{2}$ ən kiçik qiymət deyil, çünki parçanın sağ ucunda funksiya $0$ olur.

$[0;\,1]$

Tipik səhv

$\tan x$ artan funksiyadır, deməli $\tan 1<\tan 2$ ; $y=\tan 2x$ funksiyasının əsas dövrü $\frac{2\pi}{2}=\pi$ -dir.

$1<\frac{\pi}{2}<2$ , arada asimptot var: $\tan 1>0$ , $\tan 2$ isə mənfidir, deməli $\tan 1>\tan 2$ ; $y=\tan 2x$ funksiyasının əsas dövrü $\frac{\pi}{2}$ -dir.

Tangens yalnız iki qonşu asimptot arasında artır. $\tan kx$ üçün dövr düsturunda $2\pi$ yox, $\pi$ bölünür. Tangensi kotangenslə də qarışdırma: $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ nöqtələrində $\tan x$ təyin olunmayıb, $\cot x$ isə həmin nöqtələrdə sıfra çevrilir.

$x$ müəyyən parçadan götürüləndə yalnız $-1\le\sin x\le1$ şərtinə baxmaq kifayət etmir: funksiyanın məhz həmin parçada aldığı qiymətləri qrafikdən tapmaq lazımdır.

Qısa test

$x=\pi$ olduqda hansı funksiya təyin olunmur?

$y=\tan(-4x)$ funksiyasının əsas dövrünü tap.

$x\in\left[\frac{\pi}{2};\,\pi\right]$ olduqda $y=\cos x$ funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et, hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = sin x və y = cos x funksiyalarının qrafikləri», səh. 137
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = tan x və y = cot x funksiyalarının qrafikləri», səh. 158