Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Toplama düsturları: cəmin və fərqin sinusu, kosinusu, tangensi

Bu yazıdan sonra iki bucağın cəminin və fərqinin sinusunu, kosinusunu və tangensini tapa, belə ifadəni görəndə də tanıya biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masada ağ kağızın üstündə yan-yana qoyulmuş iki şəffaf üçbucaq xətkeş və qələm.

Cədvəldə $30^\circ$ , $45^\circ$ və $60^\circ$ bucaqlarının sinusu və kosinusu var. Bəs $75^\circ$ və ya $105^\circ$ ? Onları cədvəldə tapa bilməzsən, kalkulyator isə imtahanda yoxdur.

Rəsmxətdə bu bucaqları iki üçbucaq xətkeşlə asanca çəkirlər: $45^\circ$ -lik xətkeşi $30^\circ$ -lik xətkeşin yanına qoyursan, $75^\circ$ alınır. Deməli, $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ . Əgər cəmin sinusunu hissələrin sinus və kosinusları ilə yaza bilsən, $75^\circ$ da “tanış” bucağa çevrilir.

Yalnız bir şeyə diqqət et: $\sin 45^\circ+\sin 30^\circ$ təxminən $1{,}207$ edir, sinus isə heç vaxt $1$ -dən böyük olmur. Deməli, cəmin sinusu sinusların cəmi deyil. Onu necə tapmaq lazım olduğunu toplama düsturları göstərir.

Niyə lazımdır

Toplama düsturları ilə cədvəldə olmayan bucaqların dəqiq qiymətini tapırsan, uzun ifadələri isə bir bucağın funksiyasına qədər qısaldırsan. Bundan sonrakı mövzular da bu düsturların üstündə qurulur: məsələn, $\sin 2\alpha$ elə $\sin(\alpha+\alpha)$ -dır, yəni ikiqat bucağın düsturları buradan çıxır.

İmtahanda bu düsturlar çox vaxt gizli gəlir: tapşırıqda düstur yazılmır, onun sağ tərəfi yazılır. Sağ tərəfi gözün görən kimi tanısan, tapşırığın yarısını həll etmiş olursan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxunda $\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ və ya $\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ şəklində yazılmış ifadəni tanıyıb bir bucağın sinusuna və ya kosinusuna çevirmək lazım gəlir; bəzən bundan əvvəl $\sin 70^\circ=\cos 20^\circ$ kimi çevirmə düsturu tətbiq olunur. Hərfi ifadəni sadələşdirmək, verilmiş tangenslərə görə $\tan(\alpha\pm\beta)$ -nı tapmaq (tangenslər kvadrat tənliyin kökləri kimi də verilə bilər), bucaqlardan birinin sinusu və ya kosinusu və rübü məlum olduqda cəmin, fərqin funksiyasını hesablamaq tez-tez rast gəlinən növlərdir. Üçbucağın iki bucağına görə üçüncüsünü, tangenslərə görə bucağın dərəcə ölçüsünü tapmaq, $a\sin x+b\cos x$ ifadəsinin ən böyük qiymətini müəyyən etmək, damalı kağızda və ya kubun açılışında çəkilmiş bucağın tangensini hesablamaq da soruşulur.

Qayda

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ ;
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ : kosinusda hasillər arasındakı işarə mötərizədəkinin əksidir;
$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ ;
üçbucaqda $C=180^\circ-(A+B)$ , ona görə $\sin C=\sin(A+B)$ , $\cos C=-\cos(A+B)$ , $\tan C=-\tan(A+B)$ ;
$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)$ , burada $\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , $\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ; deməli, bu ifadənin ən böyük qiyməti $\sqrt{a^2+b^2}$ , ən kiçik qiyməti isə $-\sqrt{a^2+b^2}$ olur.

Toplama düsturlarında işarələr
Funksiya	Cəmdə	Fərqdə
Sinus	Hasillər arasında +	Hasillər arasında −
Kosinus	Hasillər arasında −	Hasillər arasında +
Tangens	Surətdə + Məxrəcdə −	Surətdə − Məxrəcdə +

Düsturu özün yoxla

İki bucağı seç və bax: düsturla hesablanan qiymət cəmin sinusu ilə həmişə üst-üstə düşür. Sinusların cəmi isə ümumi halda başqa ədəddir: ona yalnız bucaqlardan biri $0^\circ$ olanda bərabər olur.

Nümunələr

\sin 105^\circ

-ni hesabla.

Həllə bax

Həlli: $\sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

$\cos\alpha=0{,}6$ və $\alpha$ IV rübün bucağıdır. $\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: IV rübdə sinus mənfidir, ona görə $\sin\alpha=-0{,}8$ . Onda $\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\alpha\times\frac{1}{2}-\cos\alpha\times\frac{\sqrt{3}}{2}=-0{,}4-0{,}3\sqrt{3}$ .

$\tan\alpha=\frac{1}{3}$ və $\tan(\alpha+\beta)=1$ olarsa, $\tan\beta$ -nı tap.

Həllə bax

Həlli: $\beta=(\alpha+\beta)-\alpha$ , ona görə $\tan\beta=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+1\times\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}:\frac{4}{3}=\frac{1}{2}$ .

\cos 80^\circ\cos 20^\circ+\sin 80^\circ\sin 20^\circ

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Bu ifadə kosinus düsturunun sağ tərəfidir: iki kosinusun hasili, iki sinusun hasili var.
Hasillər arasında “+” durur. Kosinusda işarə mötərizədəkinin əksidir, deməli, mötərizədə fərq olmalıdır: $\cos(80^\circ-20^\circ)$ .
$\cos(80^\circ-20^\circ)=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Tipik səhv

$\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin 30^\circ+\sin 60^\circ=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\sin(30^\circ+60^\circ)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ , yəni $\sin 90^\circ$ .

Ən çox rast gəlinən səhv funksiyanı toplananlar üzrə açmaqdır: ümumi halda $\sin(\alpha+\beta)$ ifadəsi $\sin\alpha+\sin\beta$ -ya, $\tan(\alpha-\beta)$ isə $\tan\alpha-\tan\beta$ -ya bərabər deyil; yanlış cavab burada hətta $1$ -dən böyük çıxıb. İkinci səhv işarələrdədir: cəmin kosinusunda hasillər çıxılır, fərqin kosinusunda toplanır, tangens düsturunda isə məxrəcdəki işarə surətdəkinin əksidir.

Sinusu kosinusa görə (və ya tərsinə) kökdən taparkən rübü unutma: kökün qarşısındakı işarəni bucağın yerləşdiyi rüb müəyyən edir. Üçbucaqda $\tan C=\tan(A+B)$ yazmaq səhvdir, çünki $C$ bucağı $A+B$ cəmini $180^\circ$ -yə tamamlayır. Bucağı tangensinə görə tapanda da onun hansı aralıqda yerləşdiyini yoxla: tangensi eyni olan bucaqlar $180^\circ$ fərqlənə bilər.

Özünü yoxla

$\sin52^\circ\times\cos22^\circ-\cos52^\circ\times\sin22^\circ$ ifadəsinin qiymətini tap.

$\sin\alpha=\frac{3}{5}$ və $\alpha$ II rübün bucağıdır. $\cos(\alpha-60^\circ)$ ifadəsinin qiymətini tap.

$\tan\alpha=2$ və $\tan\beta=\frac{1}{4}$ olarsa, $\tan(\alpha-\beta)$ ifadəsinin qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturları», səh. 103