Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

İkiqat bucağın triqonometrik funksiyaları: sin 2α, cos 2α, tan 2α

Bu səhifədən sonra $\sin2\alpha$ , $\cos2\alpha$ və $\tan2\alpha$ -nı tez tapacaq, kvadratları dərəcəni azaltma düsturları ilə sadələşdirəcək və işarədə səhv etməyəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: çəmənlikdə yuxarı əyilmiş şlanqdan çıxan su qövs boyunca uçub otun üstünə düşür.

Bağda şlanqla su səpirsən. Kranı eyni açıq saxlayırsan, şlanqın ucunu isə lap yerə yaxın tutursan. Ucu tam üfüqi tutsan, su yaxına düşür. Dik yuxarı tutsan, su elə öz başına tökülür. Ən uzağa düşməsi üçün şlanqı bu ikisinin arasında haradasa tutmaq lazımdır.

Fizika dəqiq cavab verir: hava müqaviməti nəzərə alınmasa, cisim həmişə eyni sürətlə atılsa və atıldığı hündürlüyə də düşsə, onun uçuş məsafəsi $\sin2\alpha$ -ya mütənasibdir, burada $\alpha$ atılma bucağıdır. Sinus ən böyük qiymətini $90^\circ$ -də alır, deməli belə şəraitdə ən uzaq atış $\alpha=45^\circ$ olanda alınır. Şlanqdan çıxan su bu şərtlərə ancaq təxminən uyur.

Daha maraqlısı da var: eyni şəraitdə və eyni sürətlə $30^\circ$ və $60^\circ$ bucaqla atılan cisim eyni məsafəyə düşür, çünki $\sin60^\circ=\sin120^\circ$ . Bu sirri açan elə ikiqat bucağın sinusudur.

Niyə lazımdır

İkiqat bucaq düsturları ifadəni bir bucaqdan başqa bucağa keçirir. Qarışıq görünən $2\sin15^\circ\cos15^\circ$ bir an içində $\sin30^\circ$ -ə, yəni $\frac{1}{2}$ -yə çevrilir. Dərəcəni azaltma düsturları isə kvadratdan qurtarmağa kömək edir, bu da sonra triqonometrik tənlikləri həll edəndə çox lazım olur.

İmtahanda bu düsturlar vaxt qazandırır: düsturu tanıyan şagird uzun hesablamanı bir sətirdə bitirir, tanımayan isə kökləri hesablamaqla vaxt itirir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Testlərdə ən çox $1-2\sin^2x$ , $2\cos^2x-1$ və ya $\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$ şəklində yazılmış ifadənin konkret bucaqdakı qiymətini hesablamaq tələb olunur: düsturu sağdan sola oxuyub ifadəni bir funksiyaya gətirmək lazımdır. Kəsr şəklində verilmiş ifadəni sadələşdirmək də tez-tez rast gəlinən tipdir. Başqa tapşırıqlarda bucağın bir funksiyası və rübü məlumdur, $\sin2\alpha$ , $\cos2\alpha$ və ya $\tan2\alpha$ tapılmalıdır; yaxud yarım bucağın sinusunu tam bucağın kosinusu ilə ifadə etmək istənilir. Bəzən cavab verilmiş $a$ parametri ilə yazılmalıdır, məsələn, bucağın sinusu $a$ -ya bərabər olanda ikiqat bucağın kosinusu. Çətin suallarda $\sin\alpha+\cos\alpha$ cəmi verilir, dördüncü dərəcəli ifadələr, kosinusların hasili və ya tərs triqonometrik funksiyalar iştirak edir.

Qayda

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ ;
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$ ;
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ ;
dərəcəni azaltma: $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$ , $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$ ; başqa sözlə, $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$ , $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$ ;
yarım bucaq: $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ , işarəni $\frac{\alpha}{2}$ bucağının rübü seçir;
yalnız tangens məlumdursa: $\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ , $\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ .

Dərəcəni azaltma düsturları
Kvadrat	İfadə
$\sin^2\alpha$	$\frac{1-\cos2\alpha}{2}$
$\cos^2\alpha$	$\frac{1+\cos2\alpha}{2}$

Sinus və kosinusla yazılan düsturlar istənilən bucaq üçün doğrudur, tangensli düsturlar isə yalnız tangensin təyin olunduğu bucaqlarda.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\[6pt]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{gathered}

Kosinus verildikdə sinusu əsas eynilikdən tap, işarəsini bucağın yerləşdiyi rübə görə seç. Sonra ikiqat bucağın sinusunu hesabla.

Öyrənilməli düstur

\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

Bucağın ikiqatının sinusu həmin bucağın sinusu ilə kosinusunun hasilinin iki mislidir. Məxrəcdəki $\sin 55^\circ$ tamamlayıcı bucağa keçməklə $\cos 35^\circ$ -ə çevrilir.

Öyrənilməli düstur

\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

İkiqat bucağın tangensi bu düsturla ifadə olunur. Verilən kəsr $\frac{2}{\tan 2\alpha}$ şəklinə düşür, $2\alpha=30^\circ$ olduğundan tangens cədvəl qiymətlə əvəz edilir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\[6pt] (\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\sin2\alpha\end{gathered}

İkinci bərabərlik birincidən və $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ eyniliyindən çıxır. Verilmiş fərqi kvadrata yüksəlt və $\sin2\alpha$ -nı ayırıb tap.

Öyrənilməli düstur

\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha},\quad \cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}

İkiqat bucağın sinusu və kosinusu yalnız bucağın tangensi ilə ifadə oluna bilər. Burada $\tan\alpha=2$ yerinə qoyulur və iki nəticə toplanır.

Düsturu öz gözünlə yoxla

Bucağı dəyiş və bax: hər cütdə iki sətir həmişə eyni ədədi göstərir.

Nümunələr

\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}

fərqini hesabla.

Həllə bax

Həlli: kosinusun ikiqat bucaq düsturunu sağdan sola oxuyaq: fərq $\cos\frac{\pi}{4}$ -ə, yəni $\frac{\sqrt{2}}{2}$ -yə bərabərdir. İfadəni $\sin\frac{\pi}{8}$ və $\cos\frac{\pi}{8}$ -in ayrı-ayrı qiymətləri ilə hesablamağa ehtiyac yoxdur.

$\sin\alpha=-\frac{5}{13}$ və $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$ olarsa, $\sin2\alpha$ və $\cos2\alpha$ -nı tap.

Həllə bax

Həlli: III rübdə kosinus mənfidir, $\cos\alpha=-\frac{12}{13}$ . $\sin2\alpha=2\times\left(-\frac{5}{13}\right)\times\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{120}{169}$ , $\cos2\alpha=1-2\times\frac{25}{169}=\frac{119}{169}$ .

$\cos\alpha=\frac{1}{9}$ və $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ olarsa, $\sin\frac{\alpha}{2}$ -ni tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{\alpha}{2}$ I rübdədir, kök müsbət götürülür: $\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-1/9}{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$ .

Tipik səhv

$\cos\alpha=\frac{3}{5}$ , $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ . $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ , $\sin2\alpha=2\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$ .

$\alpha$ IV rübdədir, orada sinus mənfidir: $\sin\alpha=-\frac{4}{5}$ , $\sin2\alpha=2\times\left(-\frac{4}{5}\right)\times\frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$ .

Ən çox buraxılan səhv işarə ilə bağlıdır: $\sin\alpha$ kökdən çıxarılır və rüb yoxlanmadan müsbət götürülür, ona görə $\sin2\alpha$ -nın işarəsi tərsinə çıxır. Variantlar arasında adətən həm düzgün ədəd, həm də onun əks işarəlisi olur, ona görə bucağın rübünü hesablamadan əvvəl müəyyənləşdir. Yarım bucaq düsturunda isə işarəni $\alpha$ -nın deyil, $\frac{\alpha}{2}$ -nin rübü həll edir.

Düsturları da qarışdırma: $1+\cos2\alpha$ ifadəsi $2\cos^2\alpha$ -ya bərabərdir, $2\sin^2\alpha$ -ya yox. $\sin2\alpha$ -nı da $2\sin\alpha$ kimi yazmaq olmaz. Şübhə yaransa, alınan bərabərliyi $\alpha=30^\circ$ kimi tanış bucaqla yoxla.

Özünü yoxla

$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$ olarsa, $\sin2\alpha$ -nı tap.

$\tan\alpha=\frac{1}{3}$ olarsa, $\tan2\alpha$ -nı hesabla.

Dərəcəni azaltma düsturları ilə $3\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107