Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Sinα və cosα-nın tan(α/2) ilə ifadəsi (universal əvəzetmə)

Yarım bucağın tangensi məlum olanda $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ və $\tan\alpha$ -nı bir addımda tapmağı və bu əvəzetmə ilə tənlik həll etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün təxminən 3 dəqiqə

Radiusu 1 olan çevrə çək. Onun üzərində elə nöqtələr var ki, hər iki koordinatı adi kəsrdir. Məsələn, $\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$ belə nöqtədir. Yoxla: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ . Mərkəzdən bu nöqtəyə çəkilən radius və iki koordinat parçası düzbucaqlı üçbucaq yaradır. Onun tərəfləri $\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{5}$ və 1-dir, yəni hamının tanıdığı 3, 4, 5 üçbucağına oxşardır.

Belə nöqtələri təsadüfən axtarmaq lazım deyil. $t=\frac{1}{2}$ götür və $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ ilə $\frac{2t}{1+t^2}$ kəsrlərini hesabla: $\frac{3}{5}$ və $\frac{4}{5}$ alınır. $t=\frac{2}{3}$ götürsən, $\frac{5}{13}$ və $\frac{12}{13}$ çıxır. Bu dəfə üçbucağın tərəfləri 5, 12, 13 ədədləri ilə mütənasibdir.

Bu iki kəsr elə bu səhifənin qaydasıdır: yarım bucağın tangensi ilə yazılmış $\cos\alpha$ və $\sin\alpha$ . Deməli, $\alpha\ne\pi+2\pi k$ olanda bircə ədəd, $t$ , $\sin\alpha$ və $\cos\alpha$ -nı tam müəyyən edir, $\tan\alpha$ -nı da, əgər o varsa. Bucağın özünü isə yox: $\alpha$ və $\alpha+2\pi$ eyni $t$ -ni verir.

Niyə lazımdır

Bunun faydası odur ki, sinusu, kosinusu və tangensi qarışıq olan ifadə bir dəyişənli adi kəsrə çevrilir. Ondan sonra iş artıq cəbrdir. Tapşırıqda yarım bucağın tangensi verilibsə, bucağın özünü tapmağa ehtiyac yoxdur: $t$ -ni düstura qoyursan və cavab hazırdır.

Tənlikdə də eyni şey baş verir: sinus və kosinusla yazılmış tənlik $t$ -yə görə adi cəbri tənliyə gəlir. Bu yol həmişə işləyir, amma bəzən uzun olur. Daha qısa yol görürsənsə, onu seç, sadəcə itən kökləri yoxlamağı unutma.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında bu düsturlar ayrıca başlıq kimi verilmir, amma bir çox tapşırığın içində işlənir. Adətən yarım bucağın tangensi (bəzən kotangensi) məlum olur və $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ və ya onlardan qurulmuş ifadənin qiymətini tapmaq tələb olunur. Başqa tapşırıqlarda tangensli kəsri bir funksiyaya gətirib konkret bucaqda hesablamaq, ifadəni $m$ parametri ilə yazmaq, yaxud $\arctan$ , $\text{arccot}$ daxil olan ifadənin qiymətini tapmaq lazımdır. $a\sin x+b\cos x=c$ şəklində bərabərliklər də bu əvəzetmə ilə həll olunur.

Qayda

$t=\tan\frac{\alpha}{2}$ işarə edək ( $\alpha\ne\pi+2\pi k$ ). İkiqat bucaq düsturlarında məxrəcə $1=\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}$ yazıb surəti və məxrəci $\cos^2\frac{\alpha}{2}$ -yə bölsək:

$\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}$ ;
$\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ ;
$\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}$ , $t\ne\pm1$ .

$t=\tan\frac{\alpha}{2}$ üçün məxrəclər
Funksiya	İfadə
$\sin\alpha$	$\frac{2t}{1+t^2}$
$\cos\alpha$	$\frac{1-t^2}{1+t^2}$
$\tan\alpha$	$\frac{2t}{1-t^2}$ , $t\ne\pm1$

$\alpha$ -nın yerinə $2\alpha$ yazsaq: $\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ , $\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ . Faydalı nəticələr: $1+\cos\alpha=\frac{2}{1+t^2}$ , $1-\cos\alpha=\frac{2t^2}{1+t^2}$ , $1\pm\sin\alpha=\frac{(1\pm t)^2}{1+t^2}$ . Bu əvəzetmə bütün triqonometrik funksiyaları bir $t$ dəyişəninin rasional kəsrinə çevirir, ona görə onu universal əvəzetmə də adlandırırlar.

Özün hesabla

Hər sualda $t=\tan\frac{\alpha}{2}$ -ni tap, düstura qoy və cavabı onluq kəsr kimi yaz.

Nümunələr

\tan\frac{\alpha}{2}=-2

olarsa,

\sin\alpha

və

\cos\alpha

-nı tap.

Həllə bax

Həlli: $1+t^2=5$ , $\sin\alpha=\frac{-4}{5}=-0{,}8$ , $\cos\alpha=\frac{1-4}{5}=-0{,}6$ . Yoxlama: $0{,}64+0{,}36=1$ . Buradan $\tan\alpha=\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}$ , bu da $\frac{-0{,}8}{-0{,}6}$ nisbətinə bərabərdir.

$\frac{1-\tan^2 15^\circ}{1+\tan^2 15^\circ}$ kəsrini hesabla.

Həllə bax

Həlli: bu, $\cos\alpha$ -nın düsturudur və $\frac{\alpha}{2}=15^\circ$ , yəni $\alpha=30^\circ$ . Cavab: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin x+\cos x=1$ tənliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: $t=\tan\frac{x}{2}$ ilə $\frac{2t+1-t^2}{1+t^2}=1$ , $2t=2t^2$ , $t=0$ və ya $t=1$ . Deməli, $x=2\pi k$ və ya $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ . Əvəzetmənin itirə biləcəyi $x=\pi+2\pi k$ qiymətlərini ayrıca yoxlayırıq: $\sin\pi+\cos\pi=-1$ , kök deyil.

Tipik səhv

$\tan\frac{\alpha}{2}=t$ olduğu üçün $\sin\alpha=\frac{2t}{1-t^2}$

$\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}$ , $\frac{2t}{1-t^2}$ isə $\tan\alpha$ -dır

Ən çox məxrəclər qarışdırılır: $\sin\alpha$ üçün $\frac{2t}{1-t^2}$ yazan şagird əslində $\tan\alpha$ -nı tapır. Özünü yoxla: $|\sin\alpha|\le1$ və $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ alınmalıdır. İkinci səhv bucağı ikiqat artırmağı unutmaqdır: $\frac{2\tan40^\circ}{1+\tan^2 40^\circ}$ kəsri $\sin80^\circ$ -yə bərabərdir, $\sin40^\circ$ -yə yox.

Kotangens verilibsə, onu birbaşa $t$ -nin yerinə yazma, əvvəlcə tərs ədədi tap. $t$ əvəzinə $\frac{1}{t}$ yazanda $\sin\alpha$ dəyişmir, $\cos\alpha$ isə işarəsini dəyişir, ona görə belə səhv cavab çox vaxt variantlar arasında olur. Tənlikdə isə tangensin mənasız olduğu $x=\pi+2\pi k$ qiymətlərini yerinə qoyub yoxlamağı unutma.

Özünü yoxla

$\tan\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{4}$ olarsa, $\sin\alpha$ -nı tap.

$\cot\frac{\alpha}{2}=4$ olarsa, $\cos\alpha$ -nı tap.

$t=\tan\frac{\alpha}{2}=-1$ olduqda hansı funksiya təyin olunmur?

Bu mövzunun tapşırıqlarını işlə

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 112