Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Triqonometrik tənliklər: sadə tənliklər və həll üsulları

Sadə triqonometrik tənliyin bütün köklərini bir düsturla yazmağı, mürəkkəb tənliyi isə sadəyə gətirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: axşam səmasının fonunda kabinələri olan böyük şeytan çarxı.

Tutaq ki, şeytan çarxının kabinəsindəsən. Çarx bərabər sürətlə fırlanır, kabinənin hündürlüyü isə zamana görə sinus kimi dəyişir: qalxır, ən yuxarıya çatır, enir, sonra hər şey təkrarlanır.

İndi sual ver: kabinə nə vaxt yarı hündürlükdə olur? Bir dövrədə iki dəfə olur: qalxanda və enəndə. Növbəti dövrədə yenə iki dəfə. Ən yuxarı nöqtəyə isə hər dövrədə yalnız bir dəfə çatırsan. Çarxın özündən hündürə isə heç vaxt qalxa bilməzsən.

$\sin x=a$ tənliyi də eyni cür işləyir: köklər iki seriya ilə gəlir, dövr qədər addımla təkrarlanır, $|a|>1$ olanda isə kök ümumiyyətlə olmur. Qaydalar bunu bir sətirdə yazmağa imkan verir.

Niyə lazımdır

Triqonometrik tənlik sürüşkən bir şeyi tutmağa öyrədir: kökü bir dənə deyil, sonsuz sayda olan tənliyi. Burada iki bacarıq var: əvvəl tənliyi sadə şəklə gətirirsən, sonra hazır düsturu tətbiq edirsən. Hər iki addımı bilsən, sonra fizikada rəqslər və dalğalarla işləmək də asanlaşır.

İmtahanda variantlar çox vaxt bir-birinə çox oxşayır: fərq bir işarədə, $\pi k$ ilə $2\pi k$ arasında, ya da $\frac{\pi k}{3}$ ilə $\pi k$ arasında olur. Düsturu dəqiq bilən adam bu tələlərə düşmür.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxunda tənliyin ümumi həllini beş variantdan seçmək lazımdır. Əvvəlcə $\sin x=a$ , $\cos x=a$ , $\tan x=a$ , $\cot x=a$ şəklində sadə tənliklər gəlir, sonra kvadrat tənliyə gətirilən, vuruqlara ayrılan və sinusla kosinusa nəzərən bircins olan tənliklər. Bundan əlavə, verilmiş parçada köklərin sayı, ən kiçik müsbət kök və ya köklərin cəmi (çox vaxt dərəcə ilə) soruşulur. Parametrli tapşırıqda isə tənliyin həlli olsun deyə parametrin hansı qiymətləri alması tələb olunur.

Qayda

$\sin x=a$ , $|a|\le1$ : $x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$ ;
$\cos x=a$ , $|a|\le1$ : $x=\pm\arccos a+2\pi k$ ;
$\tan x=a$ : $x=\arctan a+\pi k$ ; $\cot x=a$ : $x=\text{arccot}\,a+\pi k$ (hər yerdə $k\in Z$ );
$|a|>1$ olarsa, $\sin x=a$ və $\cos x=a$ tənliklərinin kökü yoxdur;
xüsusi hallar: $\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k$ , $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ , $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ , $\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi k$ ;
$\arcsin(-a)=-\arcsin a$ , $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$ , $\arctan(-a)=-\arctan a$ .

Mürəkkəb tənliklərin həll üsulları: yeni dəyişən ( $t=\sin x$ , $t=\cos x$ və ya $t=\tan x$ ) daxil edib kvadrat tənliyə gətirmək; vuruqlara ayırmaq (hasil yalnız vuruqlardan biri sıfır olduqda sıfırdır); bircins tənliyi $\cos^2 x$ -ə bölmək; $a\sin x+b\cos x$ cəmini $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ şəklinə salmaq.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

-1\le\sin x\le1

Sinusun qiymətləri yalnız $[-1;1]$ parçasındadır, ona görə $\sin x=t$ tənliyinin həlli yalnız $-1\le t\le1$ olduqda var. Burada $t=\frac{a-1}{2}$ götürülür.

Öyrənilməli düstur

\sin x=a,\ |a|\le1\ \Rightarrow\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in Z

Tam kvadrata gətirdikdən sonra $\sin x=a$ şəklində sadə tənlik qalır. Burada $a=\frac{1}{2}$ olduğundan $\arcsin a=\frac{\pi}{6}$ götürülür; $a$ mənfi olsaydı, işarə də dəyişərdi.

Özün yoxla

Hər tənlikdə soruşulan ədədi tap və yaz. Bucaqlar dərəcə ilədir.

Nümunələr

2\cos^2 x+\sin x-1=0

Həllə bax

Həlli: $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ yazsaq, $2\sin^2 x-\sin x-1=0$ alınır, buradan $\sin x=1$ və ya $\sin x=-\frac{1}{2}$ . Cavab: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ ; $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in Z$ .

$\cos x\sin 2x=\cos x$ .

Həllə bax

Həlli: $\cos x\,(\sin 2x-1)=0$ . Birinci vuruqdan $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ , ikincidən $2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ , yəni $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ . Hər iki seriya cavaba daxildir.

Hər vuruğun sıfırını ayrıca götür
Vuruq	Köklər
$\cos x=0$	$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$
$\sin2x-1=0$	$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$

$\cos 2x=\frac{1}{2}$ tənliyinin $[0;\pi]$ parçasındakı köklərini tap.

Həllə bax

Həlli: $2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$ , $x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k$ . Parçaya $\frac{\pi}{6}$ və $\frac{5\pi}{6}$ düşür, deməli iki kök var.

\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x=0

tənliyini həll et.

Həllə bax

Bu, sinusla kosinusa nəzərən bircins tənlikdir: hər həddin dərəcəsi ikidir.
Bölməzdən əvvəl yoxla: $\cos x=0$ olsaydı, tənlikdən $\sin^2 x=0$ alınardı. Amma $\cos x=0$ olanda $\sin^2 x=1$ olur, deməli belə kök yoxdur və bölmək heç nə itirmir.
Hər iki tərəfi $\cos^2 x$ -ə böl: $\tan^2 x-3\tan x+2=0$ .
$t=\tan x$ götür: $t^2-3t+2=0$ , buradan $t=1$ və ya $t=2$ .
$\tan x=1$ olanda $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ , $\tan x=2$ olanda isə $x=\arctan 2+\pi k$ alınır.

$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ ; $x=\arctan 2+\pi k,\ k\in Z$ .

Tipik səhv

$\sin^2 x=\sin x$ tənliyini $\sin x$ -ə bölürsən: $\sin x=1$ , $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ .

Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxar: $\sin x\,(\sin x-1)=0$ , buradan $\sin x=0$ və ya $\sin x=1$ . Cavab: $x=\pi k$ ; $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in Z$ .

Tənliyi $x$ -dən asılı ifadəyə bölmək ən çox rast gəlinən səhvdir: $\sin x$ və ya $\cos x$ vuruğu ilə ixtisar edəndə həmin vuruğun sıfır olduğu köklər itir. Burada bütün $x=\pi k$ seriyası itdi.

Daha dörd şeyə diqqət et. Dövrü düzgün böl: $\tan 3x=a$ üçün $x=\frac{1}{3}\arctan a+\frac{\pi k}{3}$ yazılır, $\pi k$ yox. Kvadrat tənliyin kökünü yoxla: $\cos x=2$ kimi qiymətlər atılmalıdır. Mənfi ədədin arkkosinusunu $-\arccos a$ kimi yazma: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}$ olur, $-\frac{\pi}{3}$ yox. Parçadakı kökləri sayanda isə hər iki seriyanı və mənfi $k$ qiymətlərini də yoxla.

Mövzu üzrə suallar

$\tan 2x=-1$ tənliyinin ümumi həllini seç. Bütün variantlarda $k\in Z$ .

$\cos^2 x+\cos x-2=0$ tənliyinin ümumi həllini seç. Bütün variantlarda $k\in Z$ .

$\sin x\times\cos x=0$ tənliyinin $[0;2\pi]$ parçasında neçə kökü var?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Sadə triqonometrik tənliklər», səh. 199
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Triqonometrik tənliklərin həll üsulları», səh. 208