Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Hasili cəmə çevirmə düsturları: sinus və kosinusların hasili

Sinus və kosinusların hasilini cəmə çevirib cədvəldə olmayan bucaqlarla hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: gecə şam işığında köhnə taxta masa, üstündə boş vərəqlər, lələk qələm və mürəkkəbqabı, pəncərədən ulduzlu səma görünür.

Kalkulyator yoxdur, loqarifm cədvəli də hələ icad olunmayıb. Astronom isə ulduzun yerini tapmaq üçün iki uzun ədədi bir-birinə vurmalıdır. Əllə belə vurma çox vaxt aparır və hər addımda səhvə yol açır.

Loqarifmlərdən əvvəl astronomlar bu işi bir hiylə ilə yüngülləşdirirdilər: iki ədədin hasilini kosinusların cəminə və fərqinə çevirirdilər. Kosinusların qiymətləri hazır cədvəllərdə yazılmışdı, toplamaq və çıxmaq isə vurmaqdan xeyli asandır.

Bu səhifədəki düsturlar həmin hiylənin özüdür. Sənə isə onlar başqa iş görəcək: sinus və kosinusların hasilini tanış bucaqların sinus və kosinusları ilə ifadə edəcək.

Niyə lazımdır

$82{,}5^\circ$ standart cədvəl bucağı deyil, onun sinusunu əzbər bilmək də lazım deyil. Amma iki belə bucağın cəmi və fərqi çox vaxt $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ kimi tanış bucaqlara düşür. Düstur hasili məhz bu cəmə və fərqə keçirir, sonra hər şey cədvəldən oxunur.

Hasil yox olub cəm alınanda ifadə də, tənlik də sadələşir: cəmin hər həddi ilə ayrıca işləmək olur. Ona görə bu üç eynilik sonrakı triqonometrik tənliklərdə də tez-tez köməyə gələcək.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında bu düsturlar çox vaxt hesablama və sadələşdirmə suallarının içində işlənir. Bucaqları cədvəldə olmayan iki funksiyanın hasilini hesablamaq, $\cos40^\circ(1-2\cos80^\circ)$ kimi mötərizəyə vurulmuş ifadənin qiymətini tapmaq, $\cos\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)$ tipli hasili sadələşdirmək tələb olunur. Bəzən hasil şəklində yazılmış funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiyməti, bəzən isə bir hasilin qiyməti verilib başqa ifadənin qiyməti soruşulur. Variantlarda verilmiş bərabərliklərdən səhv olanını seçmək də rast gəlinən sual növüdür. Üç vuruqlu hasillər, məsələn, $\sin 10^\circ\sin 50^\circ\sin 70^\circ$ , düsturu ardıcıl iki dəfə tətbiq etməklə hesablanır və ən çətin tapşırıqlar adətən belə olur.

Qayda

$\sin(x\pm y)$ və $\cos(x\pm y)$ üçün toplama düsturlarını tərəf-tərəfə toplasaq və ya çıxsaq, istənilən $x$ və $y$ üçün doğru olan üç eynilik alınır:

$\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left(\sin(x+y)+\sin(x-y)\right)$ ;
$\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left(\cos(x-y)+\cos(x+y)\right)$ ;
$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$ .

Yadda saxlamaq üçün: iki eyniadlı funksiyanın hasili kosinuslara, sinusla kosinusun hasili isə sinuslara çevrilir. $y=x$ olduqda ikiqat bucaq düsturları alınır: $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ , $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ . Arqumentlərin fərqi mənfi çıxanda $\cos(-t)=\cos t$ və $\sin(-t)=-\sin t$ bərabərliklərindən istifadə et.

Hasili cəmə çevir, sonra hesabla

Hər ifadədə hasili düsturla cəmə çevir. Bucaqlar tanış qiymətlərə düşəcək, cavab tam ədəd alınacaq.

Nümunələr

\sin 82{,}5^\circ\sin 37{,}5^\circ

hasilini hesabla.

Həllə bax

Həlli: $\frac{1}{2}(\cos 45^\circ-\cos 120^\circ)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}+1}{4}$ .

Sinusların hasilində bucaqlar
Addım	Bucaq
Fərq	$45^\circ$
Cəm	$120^\circ$
Nəticə	$\frac12(\cos45^\circ-\cos120^\circ)$

$2\cos 5x\cos x-\cos 4x$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: $2\cos 5x\cos x=\cos 6x+\cos 4x$ , ona görə ifadə $\cos 6x$ -ə bərabərdir.

$f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{8}\right)$ funksiyasının ən böyük qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{2}}{4}$ . $\cos 2x=1$ olduqda ən böyük qiymət alınır: $\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ .

Tipik səhv

$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left(\cos(x+y)-\cos(x-y)\right)$

$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$

Ən çox $\sin x\sin y$ düsturunda işarə səhv salınır: kosinusların fərqi $\cos(x-y)-\cos(x+y)$ ardıcıllığı ilə yazılır. $y=x$ götürsən, sol tərəf $\sin^2x\ge 0$ olur, deməli, sağ tərəf də $\frac{1-\cos 2x}{2}$ alınmalıdır, səhv yazılış isə $-\sin^2x\le 0$ verir.

İkinci səhv $\frac{1}{2}$ vuruğunu itirməkdir: $2\cos A\cos B$ hasilində iki ilə yarım ixtisar olunur, $\cos A\cos B$ -də isə yarım qalır. Üçüncüsü, $\cos x\sin y$ hasilində $\sin(x-y)$ toplanmır, çıxılır, çünki sinus ikinci vuruqdadır; tərəddüd edəndə vuruqların yerini dəyişib $\sin y\cos x$ yaz. Sadə bucaqlarla yoxla: $x=60^\circ$ , $y=30^\circ$ olduqda $\cos x\sin y=\frac{1}{4}$ və $\frac{1}{2}(\sin 90^\circ-\sin 30^\circ)=\frac{1}{4}$ , işarəni səhv yazsan, $\frac{3}{4}$ alınardı.

Özünü yoxla

$\sin 4x\sin x$ hasilini kosinuslarla ifadə et.

$2\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$ ifadəsini sadələşdir.

$\sin 15^\circ\cos 105^\circ$ hasilini hesabla.

Mövzunu tapşırıqlarla möhkəmlət

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Toplama düsturlarından alınan nəticələr», səh. 107