Riyaziyyat, Triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik tənliklər

Tərs triqonometrik funksiyalar: arcsin, arccos, arctan, arccot

Arksinus, arkkosinus, arktangens və arkkotangensi hesablamağı, cavabın düzgün aralığa düşdüyünü yoxlamağı və bu funksiyaların xassələrini tətbiq etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: binanın girişinə qalxan, məhəccəri olan beton pandus, yandan görünüş.

Kalkulyatoru dərəcə rejiminə qoy, $\sin^{-1}$ düyməsini bas və $0,5$ yaz. Ekranda $30$ çıxacaq. Amma $150^\circ$ -nin də sinusu $0,5$ -dir, $390^\circ$ -nin də. Bəs kalkulyator niyə məhz birini seçir?

Səbəb bir razılaşmadır: sinusu $0,5$ olan sonsuz sayda bucaq var, ona görə də hamı eyni bucağı götürsün deyə bir aralıq seçilib. Bu razılaşmanın adı tərs triqonometrik funksiyalardır. Hər biri bucağı yalnız öz aralığından götürür.

Eyni sual gündəlik həyatda da qarşına çıxır. Pandusun hündürlüyünü və üfüqi uzunluğunu bilirsən, maillik bucağını isə bilmirsən. Bu iki ədədin nisbəti bucağın tangensidir, bucağın özü isə həmin nisbətin arktangensidir.

Niyə lazımdır

Triqonometrik tənliklərin cavabı bu funksiyalarla yazılır. Məsələn, $\sin x=a$ tənliyinin bütün həlləri $\arcsin a$ vasitəsilə ifadə olunur. Bu mövzunu bilməsən, sonrakı tənliklər mövzusunda da çətinlik çəkəcəksən.

İmtahanda tələ adətən tək bir yerdə olur: hesablama doğrudur, amma alınan bucaq lazım olan aralıqda deyil. Aralıqları əzbər bilsən, belə tapşırıqları bir-iki sətirdə və səhvsiz həll edəcəksən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən çox rast gəlinən tapşırıq standart ədədlərin arksinus, arkkosinus, arktangens və arkkotangenslərindən qurulmuş cəmin qiymətini tapmaqdır; kodlaşdırılan tapşırıqda belə cəm $\frac{k}{\pi}$ vuruğuna vurulur ki, cavab tam ədəd alınsın. Başqa tapşırıqlarda tərs funksiyanın qiymətinin sinusu, kosinusu və ya tangensi soruşulur, yaxud böyük bucaq üçün $\arcsin(\sin x)$ tipli ifadəni hesablamaq lazımdır. Uyğunluq tapşırıqlarında $y=a+b\arcsin(kx+m)$ kimi funksiyaların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu, tək və ya cüt olması yoxlanılır; bəzən iki tərs funksiyanın bərabərliyindən $x$ tapılır.

Qayda

$\arcsin a$ ( $-1\le a\le1$ ) — $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ parçasında sinusu $a$ olan bucaqdır; $\arcsin(-a)=-\arcsin a$ .
$\arccos a$ ( $-1\le a\le1$ ) — $[0;\pi]$ parçasında kosinusu $a$ olan bucaqdır; $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$ .
$\arctan a$ (istənilən $a$ ) — $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ aralığında tangensi $a$ olan bucaqdır; $\arctan(-a)=-\arctan a$ .
$\text{arccot}\,a$ (istənilən $a$ ) — $(0;\pi)$ aralığında kotangensi $a$ olan bucaqdır; $\text{arccot}(-a)=\pi-\text{arccot}\,a$ .
Arksinus və arktangens: dolu uclar daxildir, boş uclar daxil deyil.

Arkkosinus və arkkotangensin qiymətləri
Funksiya	Aralıq
$\arccos a$	$[0;\pi]$
$\operatorname{arccot}a$	$(0;\pi)$

Deməli, $\arcsin x$ və $\arctan x$ tək və artan funksiyalardır, $\arccos x$ və $\text{arccot}\,x$ isə azalandır və nə tək, nə də cütdür. Hər birinin qrafiki uyğun triqonometrik funksiyanın həmin aralıqdakı qrafikinə $y=x$ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. Bundan başqa, $\sin(\arcsin a)=a$ , $\tan(\arctan a)=a$ , $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2}$ və $\arctan a+\text{arccot}\,a=\frac{\pi}{2}$ .

Düzgün aralığı tut

Hər ifadəni tərs funksiyaların qiymət aralıqlarını və xassələrini nəzərə alaraq hesabla, sonra uyğun variantı seç.

Nümunələr

\arctan(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$ , $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ , cəm $\frac{\pi}{3}$ olur.

$\tan\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $\alpha=\arcsin\frac{8}{17}$ bucağı $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ parçasındadır, orada kosinus mənfi deyil: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\frac{15}{17}$ . Onda $\tan\alpha=\frac{8}{15}$ .

$\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{5\pi}{3}$ bucağı $[0;\pi]$ parçasına düşmür. $\cos\frac{5\pi}{3}=\cos\left(2\pi-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}$ və $\frac{\pi}{3}\in[0;\pi]$ , ona görə cavab $\frac{\pi}{3}$ olur.

Tipik səhv

$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=-\arccos\frac{1}{2}=-\frac{\pi}{3}$

$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\arccos\frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

Əsas səhv tərs funksiyanın qiymətlər çoxluğunu unutmaqdır. Arksinusun $\arcsin(-a)=-\arcsin a$ qaydasını arkkosinusa köçürmək olmaz, çünki $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ . Arkkosinus üçün doğru düstur $\arccos(-a)=\pi-\arccos a$ -dır.

Kosinusu $-\frac{1}{2}$ olan bucaq çoxdur (məsələn, $\frac{4\pi}{3}$ ), amma $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ yalnız $\frac{2\pi}{3}$ ola bilər. Eləcə də $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}$ -dır, $\frac{5\pi}{6}$ yox. Cavabı tapdıqdan sonra onun lazımi aralığa düşdüyünü yoxla.

İkinci səhv işarə ilə bağlıdır: $\cos(\arcsin a)$ və $\sin(\arccos a)$ heç vaxt mənfi olmur. Səbəbi budur ki, $\arcsin a$ bucağı I və ya IV rübdə, ya da bu rüblərin sərhədindəki oxlar üzərində yerləşir. $\arccos a$ bucağı isə I və ya II rübdə, ya da bu rüblərin sərhədindəki oxlar üzərində yerləşir.

Qiymətlər çoxluğunu yazarkən də diqqətli ol: $\arctan x$ və $\text{arccot}\,x$ öz aralıqlarının uclarını almır, ona görə mötərizələr açıq olur. Nəhayət, $\sin^{-1}x$ yazılışı $\arcsin x$ deməkdir, $\frac{1}{\sin x}$ yox.

Özünü yoxla

$\arcsin\left(\sin\frac{7\pi}{6}\right)$ ifadəsinin qiymətini tap.

$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həm azalan, həm də qiymətlər çoxluğu $(0;\pi)$ aralığı olan funksiyanı seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Tərs triqonometrik funksiyalar», səh. 195