Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

İki vektorun skalyar hasili

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıq çox vaxt koordinatları ilə verilmiş iki vektorun skalyar hasilini hesablamağı tələb edir və cavab variantlarında işarə səhvinə uyğun gələn ədədlər də olur. Bu mövzunun ardınca iki vektor arasındakı bucağın kosinusunu tapmaq, vektorların perpendikulyar olması şərtindən parametri hesablamaq və qüvvənin gördüyü işi tapmaq kimi tapşırıqlar da gəlir.

Qayda

Sıfırdan fərqli $\vec a$ və $\vec b$ vektorları arasındakı $\theta$ bucağı eyni nöqtədən ayrılmış vektorlar arasındakı bucaqdır, $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ .
Skalyar hasil vektorların modulları ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilidir: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\times|\vec b|\times\cos\theta$ .
Koordinatlarla: $\vec a\langle a_1; a_2\rangle$ və $\vec b\langle b_1; b_2\rangle$ üçün $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$ . Fəzada üçüncü koordinatların hasili də əlavə olunur: $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ .
Skalyar hasil vektor deyil, ədəddir. Müsbət, mənfi və ya sıfır ola bilər.
$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ . Sıfırdan fərqli vektorlar üçün $\vec a\perp\vec b$ şərti $\vec a\cdot\vec b=0$ şərti ilə eynigüclüdür.
Bucağın kosinusu: $\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\times|\vec b|}$ .

Nümunələr

$\vec a\langle 2; -5\rangle$ və $\vec b\langle 3; 4\rangle$ vektorlarının skalyar hasilini tapaq.

$\vec a\cdot\vec b=2\times 3+(-5)\times 4=6-20=-14$ .

$|\vec m|=4$ , $|\vec n|=6$ və aralarındakı bucaq $120^\circ$ -dir. $\vec m\cdot\vec n$ -i tapaq.

$\cos 120^\circ=-\dfrac12$ olduğundan $\vec m\cdot\vec n=4\times 6\times\left(-\dfrac12\right)=-12$ .

Eyni başlanğıcdan çəkilmiş m və n vektorları: modulları 4 və 6, aralarındakı bucaq 120°-dir.

$k$ -nın hansı qiymətində $\vec a\langle 4; -1\rangle$ və $\vec b\langle k; 8\rangle$ vektorları perpendikulyardır?

Skalyar hasil sıfır olmalıdır: $4k+(-1)\times 8=0$ , yəni $4k-8=0$ və $k=2$ . Yoxlama: $\vec b\langle 2; 8\rangle$ olanda $4\times 2-1\times 8=0$ .

$\vec a\langle 3; 4\rangle$ və $\vec b\langle 5; 12\rangle$ vektorları arasındakı bucağın kosinusunu tapaq.

$\vec a\cdot\vec b=3\times 5+4\times 12=15+48=63$ , $|\vec a|=\sqrt{9+16}=5$ , $|\vec b|=\sqrt{25+144}=13$ . Onda $\cos\theta=\dfrac{63}{5\times 13}=\dfrac{63}{65}$ .

Tipik səhv

Şagirdlər koordinatları çarpaz vurub $a_1b_2+a_2b_1$ yazır və ya ikinci hasilin işarəsini düşürür. Düzgün yol: eyniadlı koordinatlar vurulur, yəni absis absislə, ordinat ordinatla, sonra hasillər toplanır. Nümunə 1-də ikinci hasil $(-5)\times 4=-20$ mənfidir, buna görə $6-20$ alınır, $6+20$ deyil. Hesabı bitirəndən sonra iki hasilin işarəsini bir də yoxla.

Başqa yanlış fikir: hasil sıfırdırsa, vektorlardan biri sıfır vektor olmalıdır. Sıfırdan fərqli iki vektorun skalyar hasili də sıfır ola bilər, belə halda vektorlar perpendikulyardır (nümunə 3).