Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri: kölgədən hündürlüyə

Bu səhifədən sonra iki üçbucağın oxşar olub-olmadığını üç əlamətlə yoxlayacaq və məchul tərəfi nisbətdən tapacaqsan.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: günəşli həyətdə hündür ağac və yanında dik dayanan nazik dirək, ikisinin də kölgəsi yerə eyni tərəfə düşür.

Həyətdəki hündür ağacın boyunu bilmək istəyirsən. Ona dırmaşıb ruletka sallamaq yaxşı fikir deyil. Yaxşı xəbər: buna ehtiyac da yoxdur. Günəşli gündə, düz yerdə dik bitən ağacın kölgəsini və yanında dik tutduğun, uzunluğunu bildiyin çubuğun kölgəsini eyni anda ölçmək kifayətdir.

Səbəb sadədir: eyni anda Günəş şüaları yerə demək olar ki, paralel düşür. Ağac, onun kölgəsi və şüa bir üçbucaq əmələ gətirir. Çubuq, onun kölgəsi və şüa isə ona oxşar kiçik bir üçbucaq yaradır. Ölçülər fərqlidir, forma isə eynidir.

Bəs iki üçbucağın oxşar olduğunu necə bilək? Bütün bucaqları və tərəfləri bir-bir yoxlamaq lazım deyil. Bunun üçün üç qısa əlamət var, onlarla indi tanış olacaqsan.

Niyə lazımdır

Oxşarlıq birbaşa ölçə bilmədiyin uzunluğu tapmağa kömək edir: binanın hündürlüyünü, çayın enini, xəritədəki məsafənin əslində nə qədər olduğunu. Bir üçbucağın tərəflərini bilirsənsə və ona oxşar üçbucağın bir uyğun tərəfi də məlumdursa, qalan tərəflər bir nisbətlə tapılır.

Bu mövzu imtahanda tək qalmır. Oxşarlıq sonra trapesiya məsələlərində, düzbucaqlı üçbucaqdakı parçalarda və sahələrin nisbətində də lazım olur. Əlaməti düzgün seçməyi bacarırsansa, belə məsələlərdə ilk addım artıq hazırdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsasən iki növ tapşırıq gəlir. Birincidə çertyojda paralel düz xətt çəkilir və oxşar üçbucaqlardan istifadə edib məchul tərəf tapılır. İkincisi həyat məsələləridir: kölgəyə görə dirəyin, ağacın və ya fənərin hündürlüyü, divara söykənmiş nərdivanın uzunluğu, iki çarpaz tirin kəsişmə nöqtəsinin hündürlüyü soruşulur. Belə məsələlərdə əvvəl oxşar üçbucaqları görmək, sonra uyğun tərəflərin nisbətini yazmaq lazımdır.

Qayda

Üçbucaqların oxşarlığını bütün bucaq və tərəfləri yoxlamadan, aşağıdakı üç əlamətin biri ilə müəyyən etmək olar.

Bucaq-bucaq (BB): bir üçbucağın iki bucağı o birinin iki bucağına bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır.
Tərəf-bucaq-tərəf (TBT): iki tərəf mütənasibdirsə və bu tərəflərin arasındakı bucaqlar bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır.
Tərəf-tərəf-tərəf (TTT): üç tərəf uyğun olaraq mütənasibdirsə, üçbucaqlar oxşardır.

Düzbucaqlı üçbucaqlarda iti bucaqlardan biri bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır. Oxşar üçbucaqlarda uyğun tərəflərin nisbəti eynidir və bu nisbətdən məchul tərəf tapılır.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\Delta ABC\sim\Delta EFD \Rightarrow \frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FD}=\frac{AC}{ED}

İki oxşar üçbucaq: ABC üçbucağı və ona oxşar EFD üçbucağı.

Bucaqları uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır, onların uyğun tərəfləri mütənasibdir. Burada $\Delta ADC\sim\Delta EBC$ olduğundan $\frac{AD}{EB}=\frac{DC}{BC}$ yazılır.

Öyrənilməli düstur

MN\parallel AC\ \Rightarrow\ \Delta MBN\sim\Delta ABC,\quad \frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}

ABC üçbucağında MN parçası AC tərəfinə paraleldir: M AB üzərində, N BC üzərindədir.

Üçbucağın tərəfinə paralel çəkilən parça ayrılan kiçik üçbucağı böyük üçbucağa oxşar edir. Uyğun tərəflərin nisbəti bərabərdir: $MN$ parçası $AC$ -yə, $BN$ isə $BC$ -yə uyğundur.

Öyrənilməli düstur

\angle A=\angle M,\ \angle B=\angle N\ \Rightarrow\ \Delta ABC\sim\Delta MNK,\quad \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NK}=\frac{AC}{MK}

İki üçbucaq: A və M bucaqları bir qövslə, B və N bucaqları iki qövslə işarələnib, bərabər bucaqlara görə ABC və MNK üçbucaqları oxşardır.

İki bucağı uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır, uyğun tərəflərinin nisbətləri isə bərabərdir. Burada hər iki oxşar üçbucaqda $E$ (və ya $K$ ) bucağı ortaqdır, yerə perpendikulyar parçalar isə düz bucaq verir.

Öyrənilməli düstur

\Delta ABC\sim\Delta A_1B_1C_1\ \Rightarrow\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

İki oxşar üçbucaq: ABC üçbucağı və ona oxşar A1B1C1 üçbucağı.

İki bucağı uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır, uyğun tərəflərinin nisbətləri də bərabər olur. Burada $ADE$ və $ACB$ üçbucaqlarında $A$ ortaq, $D$ və $C$ isə düz bucaqdır; nisbətdən $BC$ tapılır, nərdivanın uzunluğu isə Pifaqor teoremi ilə hesablanır.

Öyrənilməli düstur

\Delta AKC\sim\Delta ALE\ \Rightarrow\ \frac{EL}{CK}=\frac{AL}{AK}

A təpəsi ortaq olan AKC və ALE düzbucaqlı üçbucaqları (K və L düz bucaqlar), E nöqtəsi AC üzərindədir.

Ortaq bucağı və paralel (perpendikulyar) tərəfləri olan iki düzbucaqlı üçbucaq oxşardır, uyğun katetlərinin nisbətləri bərabərdir. Burada baxış xətti ilə dirək və ağac iki oxşar üçbucaq əmələ gətirir.

Öyrənilməli düstur

\Delta ABC\sim\Delta DEF\ \Rightarrow\ \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k

İki oxşar üçbucaq: ABC üçbucağı və ona oxşar DEF üçbucağı.

Bucaqları uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır, $k$ isə oxşarlıq əmsalıdır. Burada $AB\parallel CD$ olduğundan $\Delta AOB\sim\Delta DOC$ , ortaq $D$ bucağından isə $\Delta DOH\sim\Delta DAB$ alınır.

Öyrənilməli düstur

\Delta ABC\sim\Delta DEC\ \Rightarrow\ \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{DC}

ABC düzbucaqlı üçbucağı (B düz bucaq) və onun daxilində eyni C bucağı olan DEC düzbucaqlı üçbucağı (E düz bucaq).

İki düzbucaqlı üçbucağın birər iti bucağı bərabərdirsə, onlar oxşardır və uyğun tərəflər mütənasibdir. Tapşırıqda $BC=x$ götürüb nisbətdən tənlik qurursan.

Hansı əlamət işləyir?

Hər dəfə iki üçbucaq haqqında bir neçə məlumat verilir. Oxşarlığı hansı əlamətlə sübut etmək olar? Yoxsa bu məlumat kifayət etmir?

Nümunələr

ABC

üçbucağında

\angle A=40^\circ

\angle B=65^\circ

;

KMN

üçbucağında

\angle M=65^\circ

\angle K=75^\circ

. Üçbucaqlar oxşardırmı?

Həllə bax

$KMN$ -də $\angle N=180^\circ-65^\circ-75^\circ=40^\circ$ . Deməli, $\angle A=\angle N$ və $\angle B=\angle M$ . BB əlamətinə görə $\Delta ABC\sim\Delta NMK$ .

$ABC$ -də $AB=6$ , $BC=9$ ; $EFD$ -də $EF=4$ , $FD=6$ və $\angle B=\angle F$ . $ED=5$ olarsa, $AC$ -ni tapaq.

Həllə bax

$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ və $\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$ . Bərabər bucaqlar həmin tərəflərin arasındadır, ona görə TBT əlamətinə əsasən $\Delta ABC\sim\Delta EFD$ . Onda $\dfrac{AC}{ED}=1{,}5$ və $AC=1{,}5\times 5=7{,}5$ .

Oxşar ABC və EFD üçbucaqları: AB = 6, BC = 9, AC = 7,5; EF = 4, FD = 6, ED = 5; B və F bucaqları eyni qövslə işarələnib.

Eyni anda 6 m hündürlüyündə dirəyin kölgəsi 4 m, ağacın kölgəsi 10 m-dir. Ağacın hündürlüyü nə qədərdir?

Həllə bax

Günəş şüaları paralel olduğundan onların yerlə əmələ gətirdiyi iti bucaqlar bərabərdir. Dirək və ağac yerə perpendikulyardır, yəni üçbucaqlar düzbucaqlıdır və oxşardır. $\dfrac{h}{6}=\dfrac{10}{4}$ , buradan $h=\dfrac{6\times 10}{4}=15$ m.

ABC

üçbucağında

M

nöqtəsi

AB

N

nöqtəsi isə

BC

tərəfi üzərindədir və

MN\parallel AC

BN=3

NC=6

AC=12

olarsa,

MN

-i tapaq.

Həllə bax

$B$ bucağı $MBN$ və $ABC$ üçbucaqları üçün ortaqdır.
$MN\parallel AC$ olduğundan $\angle BMN=\angle BAC$ (uyğun bucaqlar).
İki bucaq bərabərdir, BB əlamətinə görə $\Delta MBN\sim\Delta ABC$ .
$BC=BN+NC=3+6=9$ , onda $\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ .
$MN=\dfrac{12}{3}=4$ .

$MN=4$

Tipik səhv

$AB=6$ , $BC=4$ , $DE=9$ , $EF=6$ və $\angle A=\angle D$ . $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=1{,}5$ , deməli, TBT əlamətinə görə $\Delta ABC\sim\Delta DEF$ .

$\angle A$ bucağı $AB$ və $AC$ tərəflərinin arasındadır, $BC$ isə onun qarşısındadır. TBT üçün $\dfrac{DE}{AB}$ və $\dfrac{DF}{AC}$ nisbətləri yoxlanmalıdır. Bu verilənlərlə TBT əlaməti tətbiq olunmur: belə tərəf və bucaqlarla bir-birinə oxşar olmayan iki üçbucaq da qurmaq olar.

TBT əlamətini tətbiq edərkən bucağın harada olduğuna baxmırlar. İki cüt tərəfin nisbəti eyni olsa və bir cüt bucaq bərabər olsa da, bu bucaq həmin tərəflərin arasında deyilsə, oxşarlıq üçün bu kifayət etmir. Düzgün yol: əvvəl bucağın hansı iki tərəf arasında durduğunu müəyyən et, sonra məhz bu tərəflərin nisbətlərini yoxla.

Başqa səhv nisbəti uyğunsuz tərəflərlə yazmaqdır. Nümunə 3-də dirəyin hündürlüyü ağacın hündürlüyünə, dirəyin kölgəsi ağacın kölgəsinə uyğun gəlir. Uyğunluğu bucaqlara görə yoxla: bərabər bucaqların qarşısındakı tərəflər uyğundur.

Özünü yoxla

İki düzbucaqlı üçbucağın oxşar olduğunu BB əlaməti ilə göstərmək üçün hansı əlavə məlumat kifayətdir?

$ABC$ və $DEF$ üçbucaqlarında $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$ verilib. TBT əlamətini tətbiq etmək üçün hansı bucaq bərabərliyi lazımdır?

Bir üçbucağın tərəfləri $4$ , $6$ , $7$ -dir. İkinci üçbucağın tərəfləri $10$ , $15$ , $x$ -dir və ən uzun tərəfi $x$ -dir. Üçbucaqların TTT əlamətinə görə oxşar olması üçün $x$ neçə olmalıdır?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.3 «Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri», səh. 48