Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları: iki dəfə orta qiymət

İki nöqtənin koordinatlarından parçanın ortasını tapmağı, ortaya və bir uca görə isə o biri ucu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə ortadan qatlanmış ağ kağız zolağı və yanında karandaş.

Bir kağız zolağını götür və uclarını üst-üstə gətirib qatla. Qatın yeri zolağın düz ortasıdır. Burada heç nə ölçmədin, amma ortanı dəqiq tapdın.

Ruletkada da iş sadədir. 3 sm ilə 11 sm işarələrinin ortası 7 sm-dir, çünki $\dfrac{3+11}{2}=7$ . Yəni ortanı tapmaq üçün iki ədədin orta qiymətini hesablamaq kifayətdir.

Koordinat müstəvisində kağızı qatlaya bilməzsən, amma eyni hesabı edə bilərsən, özü də iki dəfə: bir dəfə absislər, bir dəfə ordinatlar üçün. Bu mövzu tam olaraq bundan ibarətdir.

Niyə lazımdır

Bu düstur başqa məsələlərin içində tez-tez lazım olur. Üçbucağın medianı tərəfin ortasına çəkilir, deməli, medianla işləmək üçün əvvəlcə həmin ortanı tapmalısan. Çevrənin diametrinin ucları verilibsə, mərkəz bu diametrin ortasıdır. Paraleloqramda diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, ona görə də onların ortaları eyni nöqtə olur.

İmtahanda bu hesab adətən bir-iki sətirlik işdir. Düsturu dəqiq bilirsənsə, vaxt qazanırsan və bu vaxtı çətin tapşırıqlara sərf edə bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Çox vaxt iki ucu verilən parçanın orta nöqtəsi tapılır. Bəzən koordinatlarda parametr olur, məsələn, uclar $k$ ilə ifadə edilir və orta nöqtənin koordinat oxlarından birinin üzərində olması şərti verilir. Belə halda $k$ -nı tapmaq tələb olunur. Tərs məsələ də gəlir: orta nöqtə və bir ucu bilinir, o biri ucu tapmaq lazımdır.

Qayda

$A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi $M$ -dir.
$M$ -in absisi uclardakı absislərin cəminin yarısına, ordinatı isə ordinatların cəminin yarısına bərabərdir: $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
Nöqtə $Ox$ oxunun üzərindədirsə, onun ordinatı 0-dır. $Oy$ oxunun üzərindədirsə, absisi 0-dır.
Bir ucu və orta nöqtəni bilirsənsə, absis üçün $\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_M$ , ordinat üçün isə $\dfrac{y_1+y_2}{2}=y_M$ tənliyini yaz və məchulları tap.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

x_0=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y_0=\frac{y_1+y_2}{2}

Koordinat müstəvisində uc nöqtələri (x1; y1) və (x2; y2) olan parça və onun orta nöqtəsi (x0; y0).

$(x_1;y_1)$ və $(x_2;y_2)$ parçanın uc nöqtələridir. Orta nöqtə absis oxunun mənfi hissəsində olduqda onun ordinatı $0$ -a bərabər, absisi isə $0$ -dan kiçik olur.

Özün hesabla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Kəsr alınsa, onluq kəsr kimi yaz, məsələn 1,5.

Nümunələr

A(-3; 5)

və

B(7; -1)

nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsini tapaq.

Həllə bax

Absis: $\dfrac{-3+7}{2}=2$ . Ordinat: $\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ . Cavab: $M(2; 2)$ .

A(−3; 5) və B(7; −1) nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi M(2; 2)-dir.

$M(2; -1)$ nöqtəsi $AB$ parçasının orta nöqtəsidir, $A(-4; 3)$ . $B$ nöqtəsini tapaq.

Həllə bax

Absis üçün $\dfrac{-4+x}{2}=2$ , buradan $-4+x=4$ və $x=8$ . Ordinat üçün $\dfrac{3+y}{2}=-1$ , buradan $3+y=-2$ və $y=-5$ . Cavab: $B(8; -5)$ .

$A(-7; k+1)$ və $B(-1; 3k-5)$ nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi $Ox$ oxunun üzərindədir. $k$ -nı və orta nöqtəni tapaq.

Həllə bax

Ordinat $\dfrac{(k+1)+(3k-5)}{2}=\dfrac{4k-4}{2}=2k-2$ . Nöqtə $Ox$ oxunda olduğundan $2k-2=0$ və $k=1$ . Absis $\dfrac{-7+(-1)}{2}=-4$ . Cavab: $k=1$ , $M(-4; 0)$ . Yoxlama: $k=1$ olanda $A(-7; 2)$ , $B(-1; -2)$ , ordinatların cəmi 0-dır.

Tipik səhv

$M(2; -1)$ , $A(-4; 3)$ verilib, $B$ -ni axtarırsan və belə yazırsan: $x_B=x_M-x_A=2-(-4)=6$ .

Düzgün düstur $x_B=2x_M-x_A$ -dır: $x_B=2\times 2-(-4)=8$ . Bu, Nümunə 2-də tənliklə tapılan cavabla üst-üstə düşür. Ordinat üçün də belə et: $y_B=2\times(-1)-3=-5$ .

Orta nöqtədə cəm 2-yə bölünür. Ona görə də geri qayıdanda əvvəlcə $x_M$ -i 2-yə vurmalısan, sonra məlum ucun absisini çıxmalısan.

Orta nöqtənin özünü tapanda da səhv olur: bəzi şagirdlər koordinatları toplayıb 2-yə bölməyi unudur, ya da bir koordinatı bölüb o birini olduğu kimi saxlayır. Düzgün yol budur: həm absis, həm də ordinat üçün cəmi ayrıca tap və 2-yə böl.

Özünü yoxla

$A(-8; 3)$ və $B(2; -7)$ nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsini tap.

$M(-1; 4)$ nöqtəsi $AB$ parçasının orta nöqtəsidir. $A(3; -2)$ verilibsə, $B$ nöqtəsini tap.

$A(k-5; 2)$ və $B(2k-7; 6)$ nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi $Oy$ oxunun üzərindədir. $k$ -nı tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Parçanın orta nöqtəsi. İki nöqtə arasındakı məsafə», səh. 110