Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Koordinatlar, vektorlar və oxşarlıq: ədədlərlə həndəsə

Nöqtələri koordinatlarla yazmağı, vektorlarla hesablamağı və oxşar fiqurlarda naməlum tərəfi, sahəni tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə açılmış kağız xəritə, yanında üzü aşağı qoyulmuş telefon və şəffaf xətkeş.

Telefonda xəritəni açanda kiçik mavi nöqtə sənin harada olduğunu göstərir. Proqram üçün bu nöqtə sadəcə iki ədəddir: enlik və uzunluq. Yəni sən bu an da bir koordinat sistemindəsən.

Xəritədə evdən məktəbə düz bir ox çəksən, onun başlanğıcı, istiqaməti və uzunluğu olacaq. Riyaziyyatda belə oxa vektor deyilir.

Bir miqyasla çəkilmiş düz plan isə oxşarlığa nümunədir: belə planda bütün uzunluqlar eyni sayda dəfə kiçilir və alınan fiqur həqiqi fiqura oxşar olur. Maraqlısı budur ki, uzunluqlar 10 dəfə kiçiləndə park planda 10 dəfə yox, 100 dəfə kiçik sahə tutur. Bunun səbəbini aşağıdakı qaydada görəcəksən.

Niyə lazımdır

Vektorlar fizikada tez-tez qarşına çıxır: sürət, qüvvə, yerdəyişmə istiqaməti olan kəmiyyətlərdir və onları komponentlər üzrə toplamaq olur. Oxşarlıq isə miqyaslı xəritə, plan və ya maketlə işləyəndə lazım olur.

Yaxşı xəbər də var: burada düsturlar azdır və eyni düsturlar müxtəlif tapşırıqlarda təkrarlanır. Məsafəni, orta nöqtəni və vektorun uzunluğunu bilsən, mövzunun xeyli hissəsi sadə hesablamaya çevrilir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda vektorlarla hesablamalar aparır, onların istiqamətlərini müqayisə edirsən. Koordinatlarla verilmiş nöqtələrdən keçən çevrəni müəyyənləşdirir, ox üzərində bərabər uzaqlıqdakı nöqtəni axtarırsan. Düz xətlərin kəsişməsindən yaranan üçbucağın sahəsini və oxşar üçbucaqlarda naməlum tərəfi də tapmalı olursan. Əsas bacarıq həndəsi şərti uyğun bərabərliyə çevirməkdir.

Qayda

Koordinatlar: müstəvidə nöqtəni $(x;y)$ , fəzada isə $(x;y;z)$ ilə göstərirsən. Fəzada $Ox$ üzərində $y=z=0$ , $Oxy$ müstəvisində $z=0$ olur. $(x;y;z)$ nöqtəsindən $Oxy$ müstəvisinə məsafə $|z|$ -dir.
Məsafə: $A(x_1;y_1;z_1)$ və $B(x_2;y_2;z_2)$ üçün $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ . Müstəvidə son toplananı götürmürsən. Orta nöqtəni uyğun koordinatların ədədi ortası ilə tapırsan. Bərabər uzaqlıq şərtini $PA^2=PB^2$ yazmaq hesablamanı asanlaşdırır.
Vektor istiqaməti və uzunluğu olan yönəlmiş parçadır: $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)$ . Toplama, çıxma və ədədə vurmanı hər koordinat üzrə ayrıca yerinə yetirirsən. $\vec a=(a_1;a_2;a_3)$ üçün $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ .
Kollinearlıq: sıfır olmayan vektorlar üçün $\vec b=\lambda\vec a$ olduqda istiqamətlər $\lambda>0$ halında eyni, $\lambda<0$ halında əksdir. Bütün koordinatlarda eyni vuruq alınmalıdır.
Skalyar hasil: $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a||\vec b|\cos\alpha$ . Sıfır olmayan vektorların perpendikulyarlığını hasilin sıfır olması ilə yoxlayırsan.
Düz xətt: müstəvidə ümumi tənlik $ax+by+c=0$ şəklindədir; $a,b$ birlikdə sıfır deyil. Kəsişmə üçün iki tənliyi birlikdə həll et. Absis oxundakı kəsişmədə $y=0$ yaz. Üçbucağın oturacağı həmin oxdadırsa, hündürlük üçün üçüncü təpənin ordinatının modulunu götür, sonra $S=\frac12 bh$ hesabla.
Çevrə: mərkəz $(a;b)$ , radius $r$ olduqda $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Verilmiş nöqtələrin hər biri tənliyi ödəməlidir. Üç nöqtəyə görə mərkəzi axtararkən onlara qədər məsafələrin kvadratlarını bərabərləşdir. Sferada əlavə $(z-c)^2$ toplananı olur; mərkəz $(a;b;c)$ -dir.
Oxşarlıq: üçbucaqlarda iki bucağın bərabərliyi, yaxud iki tərəfin mütənasibliyi və aralarındakı bucağın bərabərliyi, yaxud üç tərəfin mütənasibliyi kifayətdir. Uyğun uzunluqların nisbəti $k$ olduqda perimetrlərin nisbəti $k$ , sahələrinki $k^2$ olur.
Hərəkət məsafələri saxlayır. Paralel köçürmədə $(x;y)\mapsto(x+p;y+q)$ , başlanğıca nəzərən simmetriyada $(x;y)\mapsto(-x;-y)$ . Başlanğıc mərkəzli homotetiyada $(x;y)\mapsto(kx;ky)$ , $k\ne0$ ; uzunluqlar $|k|$ dəfə dəyişir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\[6pt]M_1M_2=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2}\end{gathered}

Birinci düsturda $(a;b)$ çevrənin mərkəzi, $r>0$ isə radiusudur. Hər tənlikdən mərkəzi müəyyənləşdir, sonra $M_1(a_1;b_1)$ və $M_2(a_2;b_2)$ arasındakı məsafəni hesabla.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{|x_B-x_A|\times|y_C|}{2}

$A(x_A;0)$ və $B(x_B;0)$ oturacağın ucları, $C(x_C;y_C)$ üçüncü təpə olduqda, $|x_B-x_A|$ oturacağın uzunluğu, $|y_C|$ hündürlükdür. Oxla kəsişmələr üçün $y=0$ yaz, üçüncü təpənin koordinatlarını isə iki xəttin tənliklərini birlikdə həll etməklə tap.

Öyrənilməli düstur

\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2

Burada $P_1,P_2$ oxşar üçbucaqların perimetrlərini, $S_1,S_2$ isə onların sahələrini göstərir. Sahələrin nisbətini almaq üçün verilən perimetr nisbətini kvadrata yüksəlt və fiqurların sırasını saxla.

Öyrənilməli düstur

\vec a\pm\vec b=\langle a_1\pm b_1;\ a_2\pm b_2;\ a_3\pm b_3\rangle

$a_i$ və $b_i$ vektorların eyni mövqedəki komponentləridir; toplama və çıxma həmin komponentlər arasında aparılır. Əvvəl mötərizədəki cəmi tap, sonra onu birinci vektordan komponentlər üzrə çıx.

Öyrənilməli düstur

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

$O(a;b)$ mərkəz, $r>0$ radiusdur və çevrənin hər nöqtəsi bu mərkəzdən eyni uzaqlıqdadır. Verilmiş nöqtələrin mərkəzə məsafələrinin kvadratlarını bərabərləşdirərək $a,b$ qiymətlərini tap, sonra nöqtələrdən biri ilə $r^2$ ifadəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

$v_1,v_2,v_3$ uzunluğu axtarılan vektorun komponentləridir. Əvvəl verilən vektorlardan birinin hər komponentini əmsala vurub digərinin uyğun komponentini çıx, sonra alınan komponentləri uzunluq düsturunda işlət.

Öyrənilməli düstur

\vec t=\lambda\vec u+\mu\vec v+\nu\vec w\quad\Rightarrow\quad t_i=\lambda u_i+\mu v_i+\nu w_i,\quad i=1,2,3

$\lambda,\mu,\nu$ ədədi əmsallar, $u_i,v_i,w_i$ isə uyğun komponentlərdir. Hər komponent üçün əmsallarla vurmanı və işarələrə uyğun toplamanı ayrıca yerinə yetir.

Öyrənilməli düstur

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

$A$ və $B$ fəzanın iki nöqtəsidir, düstur onların arasındakı məsafəni verir. Axtarılan nöqtəni $C(t;0;0)$ kimi yaz, çünki o, absis oxundadır, sonra bərabər uzaqlığı $CA^2=CB^2$ şəklində ifadə et.

Öyrənilməli düstur

M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)

$M$ nöqtəsi $AB$ parçasını yarıya bölür və hər koordinatı uyğun uc koordinatlarının cəminin yarısıdır. Naməlum ucu tapmaq üçün orta nöqtənin hər koordinatının iki mislindən məlum ucun uyğun koordinatını çıx.

Öyrənilməli düstur

\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}

$O$ ortaq başlanğıcdır; fərq vektoru çıxılan vektorun sonundan digərinin sonuna yönəlir. Bu tapşırıqda fərqin modulu hipotenuzun uzunluğudur və Pifaqor teoremi ilə hesablanır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right)\\[6pt]OM=\sqrt{x_M^2+y_M^2+z_M^2}\end{gathered}

İndeksləri $1$ və $2$ olan koordinatlar parçanın uclarına, $M$ orta nöqtəyə, $O$ isə koordinat başlanğıcına aiddir. Əvvəl uyğun koordinatların ədədi ortalarını tap, sonra həmin qiymətləri məsafə düsturuna daxil et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\vec{w}=\lambda\vec{u}+\vec{v}=\langle\lambda u_1+v_1;\lambda u_2+v_2;\lambda u_3+v_3\rangle\\[6pt]|\vec{w}|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}\end{gathered}

$u_i$ , $v_i$ və $w_i$ uyğun vektor komponentləri, $\lambda$ isə həqiqi ədəddir. Əvvəl nəticə vektorunun komponentlərini hesabla, sonra onun modulunu verilmiş uzunluğa bərabərləşdirərək parametr üçün tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

Sıfır olmayan vektoru mənfi ədədə vurmaq onun istiqamətini əksinə çevirir. Variantı seçərkən bütün komponentlərin verilmiş vektorun uyğun komponentlərindən eyni mənfi vuruqla alındığını yoxla.

Öyrənilməli qayda

İki üçbucaqda uyğun tərəflərdən iki cütün nisbətləri eynidirsə və həmin tərəflər arasındakı bucaqlar bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır. Kəsişmədə yaranan qarşılıqlı bucaqlardan istifadə et, sonra axtarılan tərəfi uyğun tərəflərin ortaq nisbəti ilə tap.

Öyrənilməli qayda

Ordinat oxuna görə əks etdirmə $(x;y)$ nöqtəsini $(-x;y)$ nöqtəsinə aparır: birinci koordinatın işarəsi dəyişir, ikinci koordinat saxlanır. Verilən nöqtələrin uyğun koordinatlarını bu şərtlə əlaqələndirib məchulları tap.

Öyrənilməli qayda

İki cüt uyğun bucağın bərabərliyi üçbucaqların oxşarlığını göstərir və uyğun tərəflərin nisbətləri eyni olur. Paralellikdən bucaq bərabərliklərini müəyyən et, sonra bütöv tərəfi onun hissələrinin cəmi kimi yazıb tənasüb qur.

Öyrənilməli qayda

Üçbucaqlarda iki cüt uyğun bucaq bərabərdirsə, oxşarlıqdan uyğun tərəflər arasında tənasüb qurmaq olar. Bərabəryanlı üçbucaqların oturacaq bucaqlarından istifadə edərək kiçik və böyük üçbucağın oxşarlığını əsaslandır, naməlum tərəfi tapıb perimetri hesabla.

Özün hesabla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Cavabı yoxladıqdan sonra həllin addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

\vec a=(1;-2;0)

\vec b=(-2;1;3)

verilib.

3\vec a-\vec b

nədir? Koordinatlarla hesabla:

(3-(-2);-6-1;0-3)=(5;-7;-3)

. Həmçinin

-2\vec a=(-2;4;0)

vektoru

\vec a

ilə əks istiqamətlidir.

$A(1;2;0)$ və $B(5;0;0)$ nöqtələrindən eyni uzaqlıqda yerləşən $P\in Ox$ nöqtəsini tap. $P(t;0;0)$ yazsan, $(t-1)^2+4=(t-5)^2$ alınar. Buradan $8t=20$ , yəni $P(2{,}5;0;0)$ .

Oxşar üçbucaqların uyğun tərəfləri $4$ və $10$ sm-dir. Kiçik üçbucağın sahəsi $8$ sm² olarsa, böyük üçbucağın sahəsi nədir? Uzunluqların nisbəti $k=10/4=2{,}5$ olduğundan sahə $8\times(2{,}5)^2=50$ sm²-dir.

Tipik səhv

$\vec a=(2;-4;6)$ ilə əks istiqamətli vektor $(-1;2;-4)$ -dür, çünki bütün işarələr dəyişib.

$(-1;2;-3)=-\frac12\vec a$ : hər koordinatda eyni vuruq $-\frac12$ alınır, ona görə bu vektor $\vec a$ ilə əks istiqamətlidir. $(-1;2;-4)$ isə kollinear deyil, çünki $\frac{-4}{6}\ne-\frac12$ .

Əks istiqaməti yalnız işarələrə baxaraq seçmə: koordinatlar eyni mənfi ədədə vurulmalıdır.

İşarələrə eyni diqqəti başqa yerdə də göstər: çevrədə $(x+3)^2$ yazılıbsa, mərkəzin absisi $-3$ olur. Oxşarlıqda isə tərəflərin uyğunluğunu əvvəl müəyyənləşdir; sahəni hesablamaq üçün nisbəti kvadrata yüksəlt.

Özünü yoxla

$(x+4)^2+(y-2)^2=9$ çevrəsinin mərkəzini və radiusunu tap.

$A(-2;1;3)$ və $B(1;-3;5)$ verilib. $\overrightarrow{AB}$ vektorunun koordinatlarını tap.

İki oxşar üçbucaq üçün $\frac{S_1}{S_2}=\frac9{16}$ verilib. $\frac{P_1}{P_2}$ nisbətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Fəzada Dekart koordinat sistemi», səh. 34
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Fəzada vektorlar», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Müstəvinin tənliyi», səh. 56
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti», səh. 61
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Sferanın tənliyi», səh. 62
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Fəzada və müstəvidə çevrilmələr», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu», səh. 77
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin tənliyi», səh. 82
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrə üzərindəki nöqtələrin koordinatları və triqonometrik nisbətlər», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorlar», səh. 162
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Dekart koordinat müstəvisində vektorlar», səh. 164
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorun istiqaməti. Meyil bucağı», səh. 167
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Triqonometrik nisbətlər və vektorun komponentləri», səh. 169
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorların toplanması və çıxılması», səh. 171
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kollinear vektorların toplanması», səh. 171
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması», səh. 173
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorların komponentlərindən istifadə etməklə toplanması», səh. 177
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorun ədədə vurulması», səh. 179
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər», səh. 181
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Paralel köçürmə», səh. 182
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Hərəkət və konqruyent fiqurlar», səh. 185
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Mütənasib parçalar», səh. 142
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Oxşar dördbucaqlılar, oxşar üçbucaqlar», səh. 146
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri», səh. 148
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığı», səh. 153
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Üçbucaqların oxşarlığının tətbiqi», səh. 156
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Oxşar fiqurların sahəsi», səh. 159
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları», səh. 195
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi», səh. 196
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Fiqurların çevrilməsi. Dönmə», səh. 199
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Oxşarlıq çevrilməsi. Homotetiya», səh. 203
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.1 «Fales teoremi. Mütənasib parçalar», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.2 «Oxşar fiqurlar», səh. 44
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.3 «Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri», səh. 48
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Üçbucaqların oxşarlığının bəzi tətbiqləri», səh. 52
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Parçanın orta nöqtəsi. İki nöqtə arasındakı məsafə», səh. 110
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 9.1 «Koordinat müstəvisində dönmə», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 9.2 «Nöqtəyə nəzərən simmetriya», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 9.3 «Qurma məsələləri», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 4.2 «Düzbucaqlı koordinat sistemində məsafə», səh. 109
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Düzbucaqlı koordinat sistemində simmetriya və yerdəyişmə», səh. 113