Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Hərəkət: simmetriya, paralel köçürmə və dönmə

Bir nöqtənin oxa, nöqtəyə, düz xəttə və ya müstəviyə nəzərən simmetrik nöqtəsini, paralel köçürmədə və dönmədə yeni yerini koordinatlarla tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: sakit göl kənarında ağac və onun suda tərsinə görünən əksi.

Sakit gölə bax: sahildəki ağac suda tərsinə görünür. Ağacın hər nöqtəsinin əksi su səthindən eyni məsafədədir, sadəcə səthin o biri tərəfində. Bu, müstəviyə nəzərən simmetriyadır, su səthi də həmin müstəvidir.

Telefonda bir ikonanı barmağınla sürüşdürəndə o dönmür, sadəcə yerini dəyişir: hər nöqtəsi eyni istiqamətdə eyni qədər yol gedir. Bu, paralel köçürmədir. Müstəvidə fiquru ölçülərini dəyişmədən bir nöqtə ətrafında $90^\circ$ döndərmək isə dönməyə nümunədir.

Üçünün ortaq cəhəti var: fiqur nə uzanır, nə sıxılır, yalnız yeri dəyişir. Riyaziyyatda buna hərəkət deyilir. Koordinatlarla isə hər birini bir sətirlik qayda ilə hesablamaq olur.

Niyə lazımdır

Bu mövzu funksiyaların qrafiklərində yenə qarşına çıxacaq. Məsələn, $y=(x-3)^2+2$ parabolası $y=x^2$ parabolasının paralel köçürülmüş halıdır, yəni onu sıfırdan qurmağa ehtiyac yoxdur. Kompüter oyunlarında və qrafik proqramlarda obyekti yerindən tərpətmək, güzgü əksini almaq da elə bu koordinat qaydaları ilə edilir.

Koordinat oxlarına və fəzada koordinat müstəvilərinə nəzərən simmetriya tapşırıqlarında hansı koordinatın işarəsinin dəyişdiyini bilmək həlli qısaldır. Paralel köçürmədə və başqa nöqtəyə nəzərən simmetriyada isə uyğun düsturu tətbiq edirsən. Tərəddüd edəndə dama dəftərində kiçik bir şəkil çək: nöqtəni qoy, oxa qədər neçə dama olduğunu say, o biri tərəfə də o qədər keç.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların əksəriyyəti koordinatlarla həll olunur: nöqtəyə absis və ya ordinat oxuna, koordinat başlanğıcına, $y=x$ , $y=-x$ yaxud $y=-1$ kimi düz xəttə nəzərən simmetrik nöqtəni tapmaq, simmetrik nöqtələrin koordinatlarındakı $a$ və $b$ parametrlərini hesablamaq. Paralel köçürmə düsturlarla, vektorla və ya bir nöqtənin hansı nöqtəyə keçdiyi ilə verilir, başqa nöqtənin və ya parçanın ortasının yeni yeri soruşulur. Fəzada nöqtənin koordinat müstəvilərinə və ya $Oz$ oxuna nəzərən simmetrik nöqtəsi, fiqurların simmetriya oxlarının və müstəvilərinin sayı, koordinat başlanğıcı ətrafında $90^\circ$ dönmə və uyğunluq tapşırıqları da verilir. Ən çətin tapşırıqlarda parabola simmetrik çevrilir, təpə nöqtələrinə görə məsafə və ya perimetr tapılır.

Qayda

Hərəkət nöqtələr arasındakı məsafəni saxlayan çevrilmədir, fiqur ona konqruyent fiqura keçir. Simmetriyalar, paralel köçürmə və dönmə hərəkətdir.
Müstəvidə $M(x; y)$ nöqtəsinə simmetrik nöqtə: $Ox$ oxuna nəzərən $(x; -y)$ , $Oy$ oxuna nəzərən $(-x; y)$ , koordinat başlanğıcına nəzərən $(-x; -y)$ , $y=x$ düz xəttinə nəzərən $(y; x)$ , $y=-x$ düz xəttinə nəzərən $(-y; -x)$ .
$Q(a; b)$ nöqtəsinə nəzərən simmetriyada $Q$ nöqtəsi $MM'$ parçasının ortasıdır: $M'(2a-x; 2b-y)$ . $y=c$ düz xəttinə nəzərən: $M'(x; 2c-y)$ .
$\vec{p}(a; b)$ vektoru üzrə paralel köçürmə: $x'=x+a$ , $y'=y+b$ . Qrafik köçürüləndə tənlikdə $x$ əvəzinə $x-a$ yazılır və sağ tərəfə $b$ əlavə olunur.
Fəzada $Oxy$ müstəvisinə nəzərən yalnız $z$ -in, $Oxz$ müstəvisinə nəzərən yalnız $y$ -in, $Oyz$ müstəvisinə nəzərən yalnız $x$ -in işarəsi dəyişir; $Oz$ oxuna nəzərən isə $x$ və $y$ -in işarəsi dəyişir.
Koordinat başlanğıcı ətrafında saat əqrəbinin əksinə $90^\circ$ dönmə: $(x; y)\to(-y; x)$ .

Müstəvidə simmetriya
Nəyə nəzərən?	$M(x;y)$ -in obrazı
$Ox$	$(x;-y)$
$Oy$	$(-x;y)$
Koordinat başlanğıcı	$(-x;-y)$
$y=x$	$(y;x)$
$y=-x$	$(-y;-x)$

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

x'=x+a,\ y'=y+b

Paralel köçürmədə (x; y) nöqtəsi a vahid üfüqi və b vahid şaquli sürüşərək (x'; y') nöqtəsinə keçir.

Paralel köçürmədə $(x; y)$ nöqtəsinin absisinə $a$ , ordinatına $b$ əlavə olunur. Burada $a = 4$ , $b = 1$ olduğundan hər koordinata uyğun ədədi əlavə et.

Nöqtə hara keçir?

Hər sualda çevrilmədən sonra nöqtənin yeni koordinatlarını seç.

Nümunələr

D(-3; 7)

nöqtəsinə

y=2

düz xəttinə nəzərən simmetrik nöqtəni tap.

Həllə bax

Həlli: absis dəyişmir, ordinat $2\times2-7=-3$ olur: $(-3; -3)$ .

D(−3; 7) nöqtəsi və simmetrik (−3; −3) nöqtə y = 2 düz xəttinin iki tərəfində eyni məsafədədir; birləşdirən parça xəttə perpendikulyardır. — $D(-3;7)\to(-3;-3)$ : $y=2$ düz xətti nöqtələri birləşdirən parçanın orta perpendikulyarıdır

$\vec{p}(-1; 5)$ vektoru üzrə paralel köçürmədə $E$ nöqtəsi $(4; 0)$ nöqtəsinə keçir. $E$ nöqtəsini tap.

Həllə bax

Həlli: vektoru çıxırıq: $E(4+1; 0-5)$ , yəni $E(5; -5)$ .

Fəzada $F(2; -6; 1)$ nöqtəsinə $Oz$ oxuna nəzərən simmetrik nöqtə hansıdır?

Həllə bax

Həlli: $x$ və $y$ əks işarə alır, $z$ qalır: $(-2; 6; 1)$ .

Tipik səhv

$y=x^2$ qrafiki $\vec{p}(3; 2)$ vektoru üzrə köçürülür: $y=(x+3)^2+2$

$y=x^2$ qrafiki $\vec{p}(3; 2)$ vektoru üzrə köçürülür: $y=(x-3)^2+2$ (təpə $(0; 0)$ nöqtəsindən $(3; 2)$ nöqtəsinə keçir)

Ən çox yayılmış səhv paralel köçürməni qrafikə tətbiq edərkən işarəni qarışdırmaqdır: nöqtələrin koordinatlarına $a$ və $b$ əlavə olunur, tənlikdə isə $x$ yerinə $x-a$ yazılır.

İkinci səhv mərkəzi simmetriyanı həmişə koordinat başlanğıcına nəzərən aparmaqdır: mərkəz başqa nöqtədirsə, onu parçanın ortası kimi götür. Ardıcıl çevrilmələrdə sıranı dəyişmə. Fəzada müstəviyə və oxa nəzərən simmetriyanı qarışdırma: müstəvi bir koordinatın, ox isə iki koordinatın işarəsini dəyişir.

Özünü yoxla

Mərkəzi simmetriyada $A(-4; 7)$ nöqtəsi $A'(6; -3)$ nöqtəsinə keçir. Simmetriya mərkəzinin koordinatlarını tap.

Fəzada $M(-5; 2; -7)$ nöqtəsinə $Oyz$ müstəvisinə nəzərən simmetrik nöqtəni seç.

Paralel köçürmədə $A(2; -3)$ nöqtəsi $B(-1; 2)$ nöqtəsinə keçir. Eyni köçürmədə $C(-4; 1)$ nöqtəsinin keçdiyi nöqtəni tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et, hər birinin izahını gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada simmetriya», səh. 239
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Paralel köçürmə», səh. 182
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Hərəkət və konqruyent fiqurlar», səh. 185
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 9.2 «Nöqtəyə nəzərən simmetriya», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Düzbucaqlı koordinat sistemində simmetriya və yerdəyişmə», səh. 113