Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Dekart koordinat sistemi: nöqtənin ədədlərlə ünvanı

Bu yazıdan sonra nöqtənin koordinatlarını rübə və oxlara qədər məsafələrə görə yaza, fəzada isə nöqtələr arasındakı məsafəni tapa biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş kinozalda pillə-pillə yüksələn qırmızı kreslo sıraları.

Kinoya bilet alanda biletdə iki şey yazılır: sıra və yer. Bu iki ədədlə zalda tək bir kreslo tapılır. Onların yerini dəyişsən, 3-cü sıranın 8-ci yeri əvəzinə 8-ci sıranın 3-cü yerinə gedib başqasının kreslosunda oturarsan.

Şahmatda da belədir: xana əvvəl sütunun hərfi, sonra sıranın nömrəsi ilə adlanır. Sıra burada da önəmlidir, həm də hər xananın öz ünvanı var.

Otaqda isə iki ədəd azdır. Tavandan asılan lampanın yerini demək üçün döşəmədəki yerindən əlavə onun hündürlüyünü də bilmək lazımdır. Riyaziyyatda bu ünvanları yazmağın qaydası Dekart koordinat sistemidir.

Niyə lazımdır

Koordinatlar həndəsəni hesablamaya çevirir: şəkil çəkmədən nöqtənin harada olduğunu, iki nöqtənin bir-birindən nə qədər uzaq olduğunu ədədlərlə tapırsan. Vektorlar, düz xəttin və çevrənin tənliyi, funksiyaların qrafikləri bu sistemin üstündə qurulub.

İmtahanda bu mövzu adətən qısa tapşırıq kimi gəlir və əsasən diqqəti yoxlayır. Hansı modulun hansı oxa aid olduğunu və işarəni rübdən necə götürdüyünü bir dəfə yaxşı başa düşsən, bu tapşırıqlar sənə asan bal gətirəcək.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Müstəvidə nöqtənin hansı rübdə olması, oxlara qədər məsafələr və koordinatların işarəsi verilir, nöqtənin koordinatlarını tapmaq tələb olunur. Fəzada isə nöqtənin oktantı, koordinat başlanğıcına və ya başqa nöqtəyə qədər məsafə soruşula bilər.

Qayda

Müstəvidə iki perpendikulyar ox seçilir: üfüqi absis oxu ( $x$ oxu) və şaquli ordinat oxu ( $y$ oxu). Kəsişmə nöqtəsi $O(0;0)$ koordinat başlanğıcıdır. Nöqtənin yeri $(x;y)$ cütü ilə verilir: birinci ədəd absis, ikinci ədəd ordinatdır.
Oxlar müstəvini dörd rübə bölür, onlar saat əqrəbinin əksi istiqamətində nömrələnir. Koordinatların işarəsi: I rüb $(+;+)$ , II rüb $(-;+)$ , III rüb $(-;-)$ , IV rüb $(+;-)$ .
Rüblərdə koordinatların işarələri
Rüb $x$ $y$
I + +
II − +
III − −
IV + −
Nöqtədən absis oxuna qədər məsafə $|y|$ , ordinat oxuna qədər məsafə $|x|$ olur. Absis oxunda ordinat 0, ordinat oxunda absis 0-dır.
Fəzada üç cüt-cüt perpendikulyar $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ oxu var, nöqtə $(x;y;z)$ üçlüyü ilə yazılır. Koordinat müstəviləri fəzanı 8 oktanta bölür. $Oxy$ müstəvisində yerləşən nöqtənin $z$ koordinatı 0-dır. Nöqtədən $Oyz$ , $Ozx$ , $Oxy$ müstəvilərinə qədər məsafələr uyğun olaraq $|x|$ , $|y|$ , $|z|$ -dir.
Başlanğıcdan məsafə: $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . İki nöqtə arasında: $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ .

Rüblərdə koordinatların işarələri
Rüb	$x$	$y$
I	+	+
II	−	+
III	−	−
IV	+	−

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

d_{Ox}=|y|,\quad d_{Oy}=|x|

Dekart koordinat sistemində IV rübdə A(x; y) nöqtəsi: Ox oxuna məsafə |y|, Oy oxuna məsafə |x|.

$A(x;\,y)$ nöqtəsindən absis oxuna məsafə ordinatın, ordinat oxuna məsafə isə absisin modulu ilə ölçülür. IV rübdə $x>0$ və $y<0$ olur, buna görə işarələrə diqqət et.

Nöqtəni yerləşdir

Hər sualda düzgün variantı seç. Əvvəl modulları, sonra işarələri düşün.

Nümunələr

B

nöqtəsi II rübdədir, absis oxuna qədər məsafə 5, ordinat oxuna qədər məsafə 2-dir. Koordinatlarını tap.

Həllə bax

Ordinatın modulu $|y|=5$ , absisin modulu $|x|=2$ . II rübdə absis mənfi, ordinat müsbətdir, deməli $B(-2;5)$ .

Koordinat müstəvisində B(−2; 5) nöqtəsi II rübdədir.

$P(3;-4;12)$ nöqtəsindən başlanğıca qədər məsafəni və $Oxy$ müstəvisinə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

$OP=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ . $Oxy$ müstəvisinə qədər məsafə $|z|=12$ .

$M(1;0;2)$ və $N(3;2;3)$ nöqtələri arasındakı məsafəni tap.

Həllə bax

$MN=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt9=3$ .

Tipik səhv

$A$ III rübdədir, absis oxuna qədər məsafə 4, ordinat oxuna qədər məsafə 1-dir, deməli $A(-4;-1)$ .

Absis oxuna qədər məsafə ordinatın modulu olduğu üçün $|y|=4$ , ordinat oxuna qədər məsafə absisin modulu olduğu üçün $|x|=1$ . III rübdə hər iki koordinat mənfidir, deməli $A(-1;-4)$ .

Çoxları absis oxuna qədər məsafəni absislə tapırlar. Əslində absis oxuna qədər məsafə ordinatın modulu, ordinat oxuna qədər məsafə isə absisin modulu olur.

Məsafə mənfi ola bilməz, rübü isə işarələr müəyyən edir. Beləliklə, əvvəlcə modulları tap, sonra rübə baxıb işarələri yaz. Koordinatları $(y;x)$ sırası ilə yazmaq da səhvdir: absis birinci yazılır.

Özünü yoxla

$A(-6;2)$ nöqtəsi hansı rübdədir və hansı koordinat oxuna daha yaxındır?

$K(-4;7;-2)$ nöqtəsindən $Oyz$ müstəvisinə qədər məsafəni tap.

$M(-1;2;4)$ və $N(2;-2;4)$ nöqtələri arasındakı məsafəni tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Fəzada Dekart koordinat sistemi», səh. 34
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 105