Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Çevrənin tənliyi: mərkəzi və radiusu tənlikdən oxu

Çevrənin tənliyindən mərkəzi və radiusu oxumağı, açılmış tənliyi standart şəklə salmağı və dairənin sahəsini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündəki ağ kağızda pərgar və onun çəkdiyi çevrə.

Pərgarı kağıza qoy. İynə bir nöqtədə dayanır, karandaş isə ondan eyni məsafədə fırlanır. Nəticədə çevrə alınır. Yəni pərgar çevrənin tərifini sənin əlinlə icra edir: mərkəz sabitdir, məsafə də sabitdir.

Bəs çevrəni pərgarsız, yalnız ədədlərlə necə təsvir edəsən? Koordinat müstəvisində hər nöqtənin iki ədədi var. Nöqtədən mərkəzə qədər məsafəni isə Pifaqor teoremi ilə hesablamaq olur. Bu ikisini birləşdirəndə bütöv çevrə bir sətirlik tənliyə sığır.

Bu tənliyi oxumağı bacaranda mərkəzi və radiusu bir baxışda görürsən, şəkil çəkməyə ehtiyac qalmır.

Niyə lazımdır

Çevrənin tənliyi həndəsəni hesaba çevirir. Bir nöqtənin dairənin içində olub-olmadığını bilmək üçün çertyoj lazım deyil: koordinatları yerinə qoyursan və iki ədədi müqayisə edirsən. Kompüter qrafikasında iki dairəvi obyektin toxunub-toxunmadığı da məhz mərkəzlər arasındakı məsafə ilə yoxlanır.

İmtahanda tənlik çox vaxt açılmış şəkildə gəlir. Əsas iş hansı ədədin mərkəzə, hansının radiusun kvadratına aid olduğunu ayırmaqdır. Burada bir işarə səhvi bütün cavabı dəyişir, ona görə hər addımı sakit yaz.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda çevrə tənliyi verilib onun əhatə etdiyi dairənin sahəsini tapmaq tələb oluna bilər. Belə sualda əvvəlcə tənlikdən radiusun kvadratını müəyyənləşdirirsən, sonra sahə düsturunu tətbiq edirsən. Bunun üçün çevrənin tənliyini tanımaq, onu əlverişli şəklə salmaq və verilmiş ədədlərin mənasını düzgün oxumaq lazımdır.

Qayda

Çevrə müstəvidə seçilmiş mərkəzdən eyni müsbət məsafədə yerləşən nöqtələrdən ibarətdir. Bu məsafə radiusdur. Çevrə sərhədi, dairə isə həmin sərhədlə birlikdə daxilindəki hissəni bildirir.
Standart tənlik $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ şəklindədir; burada mərkəz $M(a;b)$ , radius isə $r>0$ olur. Düstur nöqtə ilə mərkəz arasındakı məsafənin radiusa bərabərliyindən alınır.
Mərkəz $O(0;0)$ olduqda tənlik $x^2+y^2=r^2$ olur. Sağdakı ədəd radiusun özünü deyil, kvadratını göstərir. Radiusu tapmaq üçün həmin ədədin müsbət kvadrat kökünü götür.
Tam kvadrat ayırmaq açılmış tənliyi standart şəklə gətirir. Məsələn, $y^2-8y=(y-4)^2-16$ . Əlavə etdiyin ədədi çıxmaqla ifadənin qiymətini saxlamalısan. Standart şəkildə sağ tərəf müsbət olmalıdır; sıfır yalnız bir nöqtə, mənfi ədəd isə həqiqi həllin olmadığını bildirir.
Nöqtənin vəziyyəti koordinatları tənlikdə yerinə qoymaqla yoxlanır. Sol tərəf $r^2$ ilə eynidirsə, nöqtə çevrəyə aiddir; kiçikdirsə, daxilində, böyükdürsə, xaricindədir.
Diametr verilibsə, $r=d/2$ götür. Diametrin ucları məlumdursa, mərkəzi həmin parçanın orta nöqtəsi kimi tap, sonra uclardan birinə qədər məsafəni hesabla.
Dairənin sahəsi $S=\pi\times r^2$ ilə hesablanır. Sahə üçün radiusun kvadratı kifayətdir; ayrıca kök almağa ehtiyac yoxdur. Şərtdə $\pi$ üçün qiymət göstərilibsə, hesablamada onu işlət.

Tənliyi oxu

Hər tənlikdə istənən ədədi tap və yaz. Səhv etsən, həll addım-addım görünəcək.

Nümunələr

Mərkəzi

M(-2;3)

, radiusu

4

olan çevrənin tənliyini yaz. Düsturda

a=-2

b=3

r=4

götür:

(x+2)^2+(y-3)^2=16

. Burada müsbət işarəli mötərizə mərkəzin mənfi absisinə uyğundur.

$x^2+y^2-8y+7=0$ çevrəsinin əhatə etdiyi dairənin sahəsini $\pi=3$ qəbul etməklə tap. Tam kvadrat ayır: $x^2+(y-4)^2=9$ . Deməli, mərkəz $(0;4)$ , $r^2=9$ və $S=3\times9=27$ kvadrat vahiddir.

Mərkəzi $M(1;-2)$ olan çevrə $A(4;2)$ nöqtəsindən keçir. Tənliyini yaz. Mərkəzdən bu nöqtəyə məsafənin kvadratı $r^2=(4-1)^2+(2+2)^2=25$ olduğundan axtarılan tənlik $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ olur.

Tipik səhv

$(x-3)^2+(y+2)^2=25$ : mərkəz $(3;2)$ , $r=25$ , $S=\pi\times25^2=625\pi$

$(x-3)^2+(y+2)^2=25$ : mərkəz $(3;-2)$ , $r=5$ , $S=\pi\times25=25\pi$

Mötərizədəki işarəni mərkəzin koordinatına olduğu kimi köçürmə: standart şəkildə $a$ və $b$ ədədlərindən əvvəl mənfi durur, ona görə $(y+2)^2$ üçün ordinat $-2$ olur.

Həmçinin sağ tərəfdəki $25$ ədədini radius sayma: radius $5$ , onun kvadratı isə $25$ -dir. Sahə hesablayarkən $25$ ədədini yenidən kvadrata yüksəltmə, çünki $S=\pi\times r^2$ düsturuna elə $r^2=25$ lazımdır.

Özünü yoxla

$(x+5)^2+(y-2)^2=9$ çevrəsinin mərkəzini və radiusunu tap.

$x^2+y^2-4x+6y-23=0$ çevrəsinin əhatə etdiyi dairənin sahəsini $\pi=3$ qəbul edərək tap.

$A(2;5)$ nöqtəsi $(x+1)^2+(y-1)^2=16$ çevrəsinə nəzərən harada yerləşir?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin tənliyi», səh. 82