Vektor, komponentləri və uzunluğu: koordinatdan cavaba

Niyə lazımdır

Vektor koordinat həndəsəsinin ən işlək alətidir. Komponentləri bilirsənsə, parçanın uzunluğunu, iki istiqamətin eyni və ya əks olduğunu, düz bucağı skalyar hasillə bir neçə saniyədə yoxlayırsan. Fizikada sürət, qüvvə və yerdəyişmə də elə bu yolla toplanır.

İmtahanda bu mövzu tez-tez daha böyük bir məsələnin içində gizlənir: üçbucağın tərəfi, paraleloqramın təpəsi, fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə. Komponentləri bir dəfə səhvsiz yazsan, qalanı hesabdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qayda

• Vektor başlanğıcdan sona yönələn parça ilə göstərilir. $\overrightarrow{AB}$ yazılışında hərəkət $A$ nöqtəsindən $B$ nöqtəsinə doğrudur. Vektoru tanımaq üçün həm uzunluğunu, həm də istiqamətini nəzərə al.
• Sıfır vektor başlanğıc və son nöqtələr eyni olduqda alınır; modulu sıfırdır, istiqaməti müəyyən deyil. Uzunluğu $1$ olan vektora vahid vektor deyilir.
• Komponentlər koordinat oxları boyunca dəyişmələri göstərən ədədlərdir. Müstəvidə $A(x_1;y_1)$ və $B(x_2;y_2)$ üçün $\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1;y_2-y_1\rangle$. Fəzada $A(x_1;y_1;z_1)$ və $B(x_2;y_2;z_2)$ üçün $\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\rangle$. Hər dəfə son koordinatdan başlanğıc koordinatı çıx.
• Radius-vektor koordinat başlanğıcını verilmiş nöqtə ilə birləşdirir. $P(x;y;z)$ üçün $\overrightarrow{OP}=\langle x;y;z\rangle$. Vektorların bərabərliyini yoxlayanda uyğun komponentləri müqayisə et: hamısı bərabər olmalıdır.
• Uzunluq düsturu düzbucaqlı koordinat sistemində Pifaqor teoreminə əsaslanır. Müstəvidə $\vec a=\langle a_1;a_2\rangle$ üçün $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, fəzada $\vec a=\langle a_1;a_2;a_3\rangle$ üçün $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Nəticə həmişə mənfi olmayan ədəddir.
• Toplama və çıxmada uyğun komponentlərlə əməl aparılır. Məsələn, fəzada $\vec a+\vec b=\langle a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\rangle$. $k$ həqiqi ədəd olduqda $k\vec a=\langle ka_1;ka_2;ka_3\rangle$; yəni bütün komponentlər həmin ədədə vurulur.
• Skalyar hasil düzbucaqlı koordinat sistemində uyğun komponentlərin hasillərini toplamaqla hesablanır. Müstəvidə $\vec a=\langle a_1;a_2\rangle$ və $\vec b=\langle b_1;b_2\rangle$ üçün $\vec a\cdot\vec b=a_1\times b_1+a_2\times b_2$. Fəzada $\vec a=\langle a_1;a_2;a_3\rangle$ və $\vec b=\langle b_1;b_2;b_3\rangle$ üçün $\vec a\cdot\vec b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3$. Nəticə vektor deyil, ədəddir.
• Kollinear vektorlar eyni və ya paralel düz xətlər boyunca yerləşir. $\vec a\ne\vec0$ üçün $\vec b=k\vec a$ olarsa, $k>0$ eyni, $k<0$ əks istiqamət göstərir. Xüsusən $\vec b=-\vec a$ olduqda vektorlar həm əks istiqamətli, həm də bərabər uzunluqludur.

Nümunələr

Tipik səhv

Komponentləri taparkən çıxmanın sırasını dəyişsən, əks vektoru alarsan: son koordinatdan başlanğıc koordinatı çıx. Uzunluq komponentlərin cəmi deyil; kvadratları toplayıb kvadrat kök almalısan.

Mənfi komponenti mötərizədə kvadrata yüksəlt: $(-4)^2=16$, halbuki $-4^2=-16$ olardı.

Özünü yoxla

• RiyaziyyatParçanın orta nöqtəsinin koordinatlarıÇox vaxt iki ucu verilən parçanın orta nöqtəsi tapılır.
• RiyaziyyatÇevrənin tənliyiİmtahanda çevrə tənliyi verilib onun əhatə etdiyi dairənin sahəsini tapmaq tələb oluna bilər.
• RiyaziyyatHərəkətTapşırıqların əksəriyyəti koordinatlarla həll olunur: nöqtəyə absis və ya ordinat oxuna, koordinat…
• RiyaziyyatÜçbucaqların oxşarlıq əlamətləriƏsasən iki növ tapşırıq gəlir.