Riyaziyyat, Koordinatlar üsulu. Hərəkət. Oxşarlıq. Vektorlar

Vektorlar üzərində əməllər: topla, çıx, ədədə vur

Vektorları toplamağı, çıxmağı, ədədə vurmağı və bunu həm şəkildə, həm komponentlərlə etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: axan çayın üstündən qarşı sahilə keçən kiçik taxta qayıq.

Qayıqla çayı keçmək istəyirsən. Qayığın burnunu düz qarşı sahilə tutub avar çəkirsən, amma axın da öz işini görür. Nəticədə qarşı sahilə çatırsan, amma bir az aşağıda: tam qarşıdakı nöqtəyə yox.

Səbəb sadədir: qayığın əsl hərəkəti iki hərəkətin cəmidir, sənin avar çəkməyin və suyun axını. Bunlar sadəcə ədəd deyil, hər birinin istiqaməti var. Ona görə də onları adi ədədlər kimi toplaya bilmirsən.

Başqa misal: 3 addım şərqə, sonra 4 addım şimala getsən, başladığın yerdən 7 yox, 5 addım uzaqda olursan. Vektorların toplanması məhz bu cür hesablamalar üçündür.

Niyə lazımdır

Fizikada sürətlər, qüvvələr və yerdəyişmələr vektordur. Onları toplamağı bilmirsənsə, hansı tərəfə və nə qədər hərəkət etdiyini tapa bilməzsən.

Bu mövzuda vektorların cəmini və fərqini tapmaq, həmçinin həndəsi məsələlərdə vektorları bir-biri vasitəsilə ifadə etmək tələb oluna bilər. Medianı, diaqonalı və ya bir parçanın orta nöqtəsinə gedən vektoru iki məlum vektorla ifadə etmək çox vaxt bir neçə sətirlik iş olur. Komponentlərlə hesablayanda isə uyğun komponentləri ayrı-ayrılıqda diqqətlə topla və ya çıx, sonda işarələri yoxla.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda vektorların cəmini və fərqini tapmaq, verilmiş vektoru ədədə vurmaq, nəticəni komponentlərlə yazmaq tələb oluna bilər. Həndəsi məsələlərdə tərəf və diaqonal vektorlarını bir-biri vasitəsilə ifadə edirsən. Hərəkət məsələlərində isə ardıcıl yerdəyişmələri bir vektorla əvəz edir, onun istiqamətini və modulunu müəyyənləşdirirsən.

Qayda

Üçbucaq qaydası: ikinci vektoru uzunluğunu və istiqamətini saxlayaraq birincinin ucuna köçür. Cəm ilk başlanğıcdan son uca yönəlir: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Bir neçə vektoru da belə ardıcıl yerləşdirə bilərsən.
Paraleloqram qaydası: kollinear olmayan iki vektoru ortaq başlanğıcdan çəkib paraleloqramın qonşu tərəfləri kimi götür. Həmin başlanğıcdan qarşı təpəyə yönələn diaqonal cəmi göstərir.
Kollinear vektorlar eyni düz xəttə paraleldir. Eyni istiqamətdə olduqda cəmin modulu modulların cəmidir. Əks istiqamətdə olduqda böyük moduldan kiçiyi çıx; nəticə daha uzun vektorun istiqamətindədir. Modullar bərabərdirsə, cəm sıfır vektordur.
Çıxma üçün çıxılanın əksini topla: $\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)$ . Burada $-\vec v$ uzunluğu saxlayır, istiqaməti dəyişir.
Toplamada yerdəyişmə və qruplaşdırma mümkündür: $\vec u+\vec v=\vec v+\vec u$ , $(\vec u+\vec v)+\vec z=\vec u+(\vec v+\vec z)$ . Həmçinin $\vec u+\vec0=\vec u$ və $\vec u+(-\vec u)=\vec0$ .
Ədədə vurma: həqiqi $k$ üçün $|k\times\vec u|=|k|\times|\vec u|$ . $\vec u\ne\vec0$ olduqda müsbət vuruq istiqaməti saxlayır, mənfi vuruq onu çevirir. $k=0$ və ya $\vec u=\vec0$ olduqda hasil sıfır vektordur.
Həqiqi $k,n$ ədədləri üçün $(kn)\times\vec u=k\times(n\times\vec u)$ , $(k+n)\times\vec u=k\times\vec u+n\times\vec u$ , $k\times(\vec u+\vec v)=k\times\vec u+k\times\vec v$ .
Komponentlər üzrə əməliyyatda uyğun yerlərdəki ədədlərlə hesabla. $\vec u=(a;b)$ , $\vec v=(c;d)$ olduqda $\vec u+\vec v=(a+c;b+d)$ , $\vec u-\vec v=(a-c;b-d)$ , $k\times\vec u=(ka;kb)$ .

Özünü yoxla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Səhv etsən, həll yolu açılacaq.

Nümunələr

Təpələri ardıcıl adlandırılmış

ABCD

paraleloqramında

\overrightarrow{AB}=\vec u

\overrightarrow{AD}=\vec v

verilib. Diaqonal vektorlarını ifadə et.

Həllə bax

Paraleloqram qaydasından $\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v$ . Digər diaqonal üçün $B$ -dən $A$ -ya, sonra $D$ -yə keç: $\overrightarrow{BD}=-\vec u+\vec v=\vec v-\vec u$ .

$\vec u$ şərqə yönəlib, modulu $8$ vahiddir. $-\frac34\times\vec u$ vektorunu müəyyənləşdir.

Həllə bax

Mənfi vuruq istiqaməti qərbə çevirir. Modul isə $\frac34\times8=6$ vahid olur.

$\vec u=(3;-2)$ , $\vec v=(-1;5)$ verilib. $2\times\vec u-\vec v$ vektorunu tap.

Həllə bax

Əvvəlcə hər komponenti ikiyə vur: $2\times\vec u=(6;-4)$ . Sonra uyğun komponentləri çıx: $(6-(-1);-4-5)=(7;-9)$ .

ABC

üçbucağında

M

nöqtəsi

BC

tərəfinin ortasıdır.

\overrightarrow{AM}

vektorunu

\overrightarrow{AB}

və

\overrightarrow{AC}

vasitəsilə ifadə et.

Həllə bax

Üçbucaq qaydası ilə $A$ -dan $B$ -yə, sonra $M$ -ə get: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ .
$M$ ortadır, ona görə $\overrightarrow{BM}=\frac12\times\overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{BC}$ vektorunu $A$ -dan keçməklə yaz: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ .
Yerinə qoy: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac12\times\overrightarrow{AC}-\frac12\times\overrightarrow{AB}=\frac12\times\overrightarrow{AB}+\frac12\times\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{AM}=\frac12\times(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

Tipik səhv

$|\vec u|=3$ , $|\vec v|=4$ , deməli $|\vec u+\vec v|=7$ ; $(2;5)-(-1;3)=(1;2)$ ; $|-2\times\vec u|=-6$ .

$|\vec u+\vec v|=7$ yalnız $\vec u$ və $\vec v$ eyni istiqamətdə olduqda doğrudur; $(2;5)-(-1;3)=(2+1;5-3)=(3;2)$ ; $|-2\times\vec u|=2\times3=6$ , istiqaməti isə əksinə çevrilir.

Vektorların cəminin modulunu həmişə modulların cəmi sayma: bu qayda yalnız eyni istiqamətli vektorlar üçün keçərlidir. Çıxmada ikinci vektorun hər iki komponentinin işarəsinə diqqət et.

Mənfi ədədə vuranda modul mənfi olmur; dəyişən istiqamətdir.

Özünü sına

$ABC$ üçbucağında $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$ cəmini tap.

$\vec u=(-4;3)$ və $\vec v=(2;-5)$ olduqda $\vec u-2\times\vec v$ vektorunu tap.

$\vec u$ və $\vec v$ əks istiqamətlidir, $|\vec u|=3$ , $|\vec v|=8$ . $2\times\vec u+\vec v$ vektorunun modulunu və istiqamətini müəyyənləşdir.

Bu mövzunun tapşırıqları bir yerdə

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorların toplanması və çıxılması», səh. 171
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması», səh. 173
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vektorun ədədə vurulması», səh. 179
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər», səh. 181