Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

İki müstəvinin perpendikulyarlıq əlaməti və perpendikulyar müstəvilərdə məsafələr

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar müstəvilər», səh. 61

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzu üzrə imtahan tapşırıqları əsasən hesablama tələb edir. Ən çox iki perpendikulyar müstəvidən məlum məsafələrdə yerləşən nöqtənin onların kəsişmə xəttindən uzaqlığı soruşulur. Digər tipdə müxtəlif müstəvilərdə götürülmüş iki nöqtədən kəsişmə xəttinə perpendikulyarlar çəkilir və nöqtələr arasındakı məsafə axtarılır. Ortaq tərəfi olan iki üçbucağın müstəviləri perpendikulyar olduqda təpələr arasındakı məsafə, çoxbucaqlının təpəsindən onun müstəvisinə qaldırılmış perpendikulyarla bağlı məsafələr, kubda və tetraedrdə perpendikulyar müstəviləri tanımaq da gəlir. Cavab həm variantlardan seçilir, həm də ədəd kimi yazılır.

Qayda

Kəsişən iki müstəvinin yaratdığı ikiüzlü bucaq $90^\circ$ -dirsə, müstəvilər perpendikulyardır: $\alpha\perp\beta$ .
Əlamət: $a\perp\alpha$ və $a\subset\beta$ olarsa, $\beta\perp\alpha$ . Yəni yoxlamaq üçün müstəvilərdən birində digərinə perpendikulyar bir düz xətt tapmaq kifayətdir.
Belə düz xətti tapmaq üçün onun müstəvidəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyar olduğunu göstəririk.
Tərs xassə: $\alpha\perp\beta$ olarsa, $\alpha$ -da kəsişmə xəttinə perpendikulyar olan düz xətt $\beta$ -ya perpendikulyardır.
Nöqtə perpendikulyar müstəvilərdən $p$ və $q$ məsafədədirsə, kəsişmə xəttindən uzaqlığı $\sqrt{p^2+q^2}$ -dir; $A\in\alpha$ , $B\in\beta$ , $AC\perp l$ , $BD\perp l$ olduqda $AB^2=AC^2+CD^2+BD^2$ .

Perpendikulyarlıq əlaməti və tərs xassə
Şərt	Nəticə
$a\perp\alpha$ , $a\subset\beta$	$\beta\perp\alpha$
$\alpha\perp\beta$ ; $\alpha$ -dakı düz xətt kəsişmə xəttinə perpendikulyardır	Bu düz xətt $\beta$ -ya perpendikulyardır

Nümunələr

$P$ nöqtəsi iki perpendikulyar müstəvidən $9$ və $12$ məsafədədir. O, kəsişmə xəttindən nə qədər uzaqdır?

Həlli: $\sqrt{81+144}=15$ .

Kəsişmə xəttinə perpendikulyar kəsikdə katetlər 9 və 12, hipotenuz 15-dir; hipotenuz P nöqtəsindən kəsişmə xəttinə məsafədir. — Kəsişmə xəttinə perpendikulyar kəsik: $\sqrt{9^2+12^2}=15$

$SABCD$ piramidasında $ABCD$ düzbucaqlıdır və $SB\perp(ABC)$ . $SAD$ və $SAB$ müstəviləri perpendikulyardırmı?

Həlli: $AD\perp AB$ və $AD\perp SB$ , deməli $AD\perp(SAB)$ ; $SAD$ müstəvisi $AD$ -dən keçdiyi üçün $(SAD)\perp(SAB)$ .

$A\in\alpha$ , $B\in\beta$ , $\alpha\perp\beta$ ; $AC=2$ , $BD=3$ , $CD=6$ ( $AC$ və $BD$ kəsişmə xəttinə perpendikulyardır). $AB$ -ni tapın.

Həlli: $AB=\sqrt{4+36+9}=7$ .

Tipik səhv

Ən çox yol verilən səhv perpendikulyar müstəvilərdən birindəki istənilən düz xətti digərinə perpendikulyar saymaqdır. Əslində belə düz xətt yalnız kəsişmə xəttinə perpendikulyar olduqda o biri müstəviyə perpendikulyar olur: kubda $ACC_1$ müstəvisi $ABCD$ -yə perpendikulyardır, amma $AC_1$ diaqonalı ona perpendikulyar deyil. İkinci səhv əlamətin tərsini işlətməkdir: $\alpha$ -ya perpendikulyar müstəvi $\alpha$ -ya perpendikulyar olan hər düz xətdən keçmir. Hesablamada əvvəlcə hansı bucağın düz olduğunu əsaslandır, sonra Pifaqor teoremini yaz və bir-biri ilə kəsişməyən parçaları eyni üçbucağa aid etmə.