beta

← Geri

Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

İkiüzlü bucaq: onu necə qurmaq və ölçmək olar

Fəzada iki müstəvi arasındakı bucağı düzgün qurmağı, ölçməyi və proyeksiyanın sahəsini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə yarıaçıq notbuk, ekranla klaviatura arasındakı bucaq yandan görünür.

Notbukun qapağını aç. Ekran və klaviatura iki düz səthdir, onları birləşdirən oynaq isə düz xəttdir. Qapağı nə qədər çox açsan, bu iki səth arasındakı bucaq da o qədər böyüyür. Qapı ilə divar da eyni şəkildə, rəzələrin yerləşdiyi düz xətt boyunca birləşir.

Bəs bu bucağı necə ölçmək olar? Transportiri istədiyin kimi əyri tutsan, hər dəfə başqa rəqəm görə bilərsən. Deməli, hansı iki xətt arasında ölçdüyünü dəqiq bilməlisən.

Riyaziyyat burada aydın bir yol göstərir. Bu bucağın adı ikiüzlü bucaqdır, onu ölçmək qaydası isə cəmi bir neçə sətirdir.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsində çox məsələ eyni üsulla həll olunur: üçölçülü şəkildən lazım olan müstəvi üçbucağı ayırırsan, sonra adi planimetriya ilə işləyirsən. İkiüzlü bucaq bu üsulun ən təmiz nümunəsidir. Piramidada, prizmada, kubda yan üzün oturacağa meylini soruşanda məhz bu bucaq lazım olur.

Proyeksiya düsturu isə xüsusilə faydalıdır. Uzun qurmaya ehtiyac qalmır, sahəni tapmaq üçün bir vurma kifayət edir. İmtahanda belə qısa yollar sənə vaxt qazandırır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda ikiüzlü bucağın ölçüsünü tapmaq üçün fəzadakı vəziyyəti müstəvi üçbucağa gətirməyin tələb olunur. Müxtəlif üzlərdə seçilmiş nöqtələrin tilə məsafələri və aralarındakı məsafə verilə bilər. Düzgün piramidada isə oturacaqla yan üzün yaratdığı bucağı hündürlük və oturacağın ölçüləri vasitəsilə müəyyənləşdirirsən. Əsas addım hesablamadan əvvəl bucağı düzgün seçməkdir.

Qayda

  • İkiüzlü bucaq eyni sərhəd düz xəttinə söykənən iki yarımmüstəvidən yaranır. Bu yarımmüstəvilərə üzlər, sərhəd xəttinə isə til deyilir. Açılmış kitabın iki səhifəsini üzlər, birləşmə xəttini til kimi təsəvvür edə bilərsən.
  • Xətti bucaq qurmaq üçün tildə bir nöqtə seç. Həmin nöqtədən hər üzün daxilində tilə perpendikulyar şüa çək. Bu iki şüanın yaratdığı bucaq ikiüzlü bucağın ölçüsünü göstərir.
  • Tildə başqa nöqtə seçdikdə də xətti bucağın ölçüsü dəyişmir. Ölçü 0∘0^\circ ilə 180∘180^\circ arasında olur; onu tapmaq üçün qurduğun müstəvi fiqurun xassələrindən istifadə et.
  • Müstəvilər arasındakı bucaq kəsişmə zamanı yaranan dörd ikiüzlü bucaqdan kiçiyinin ölçüsüdür. Hamısı düz bucaq olduqda müstəvilər arasındakı bucaq 90∘90^\circ olur.
  • Proyeksiyanın sahəsi üçün SAB1C=SABC×cos⁡φS_{AB_1C}=S_{ABC}\times\cos\varphi. Burada ACAC tərəfi proyeksiya müstəvisində yerləşir, BB1BB_1 həmin müstəviyə perpendikulyardır, φ\varphi isə üçbucağın müstəvisi ilə proyeksiya müstəvisi arasındakı bucaqdır.

Özün hesabla

Hər məsələdə əvvəlcə xətti bucağı və ya lazım olan üçbucağı tap, sonra cavabı yaz.

Nümunələr

1

Müxtəlif üzlərdəki AA və BB nöqtələrindən tilə çəkilən perpendikulyarlar eyni OO nöqtəsində bitir. OA=OBOA=OB, ∠OAB=40∘\angle OAB=40^\circ olarsa, ikiüzlü bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: bərabəryanlı üçbucağın digər oturacaq bucağı da 40∘40^\circ-dir. Xətti bucaq ∠AOB=180∘−2×40∘=100∘\angle AOB=180^\circ-2\times40^\circ=100^\circ alınır.

2

Ölçüsü 30∘30^\circ olan ikiüzlü bucağın bir üzündəki AA nöqtəsinin tildən məsafəsi 1010 sm-dir. Digər üzün müstəvisinə məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: tildəki perpendikulyar ayağını OO, digər müstəvidəki ayağı HH adlandır. Tilə perpendikulyar kəsikdə AOHAOH düzbucaqlı üçbucağı alınır; AOAO hipotenuz, ∠AOH=30∘\angle AOH=30^\circ olur. Qarşı katet hipotenuzun yarısıdır: AH=10:2=5AH=10:2=5 sm.

3

Sahəsi 4040 sm² olan ABCABC üçbucağının ACAC tərəfindən keçən müstəvi üçbucağın müstəvisi ilə 60∘60^\circ yaradır. BB nöqtəsinin həmin müstəviyə perpendikulyar proyeksiyası B1B_1-dir. Proyeksiyanın sahəsini tap.

Həllə bax

Həlli: SAB1C=40×cos⁡60∘=20S_{AB_1C}=40\times\cos60^\circ=20 sm².

Tipik səhv

Birinci nümunədə: müstəvilər arasındakı bucaq ∠AOB=100∘\angle AOB=100^\circ-dir.

İkiüzlü bucaq ∠AOB=100∘\angle AOB=100^\circ, müstəvilər arasındakı bucaq isə 180∘−100∘=80∘180^\circ-100^\circ=80^\circ-dir.

Konkret ikiüzlü bucağı müstəvilər arasındakı bucaqla qarışdırma: müstəvilər arasındakı bucaq kəsişmədə yaranan dörd ikiüzlü bucaqdan kiçiyidir. Bir də üzlərdə çəkilmiş istənilən iki şüa arasındakı bucağı xətti bucaq sayma: şüaların başlanğıcı tildə eyni nöqtə olmalıdır və hər ikisi tilə perpendikulyar çəkilməlidir.

Özünü yoxla

İkiüzlü bucağın tilində bir nöqtə seçib həmin nöqtədən hər üzün daxilində bir şüa çəkirsən. Xətti bucaq almaq üçün hansı şərti ödəməlisən?

İki müstəvinin kəsişməsində yaranan ikiüzlü bucaqlardan biri 124∘124^\circ-dir. Müstəvilər arasındakı bucağı tap.

ABCABC üçbucağının ACAC tərəfi proyeksiya müstəvisindədir, B1B_1 isə BB nöqtəsinin bu müstəviyə perpendikulyar proyeksiyasıdır. ABCABC üçbucağının sahəsi 1818 sm², AB1CAB_1C üçbucağının sahəsi 99 sm² olarsa, müstəvilər arasındakı bucağı tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

  • Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti. İkiüzlü bucaqlar», səh. 58