Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Nöqtədən müstəviyə qədər məsafə: perpendikulyar, mail və proyeksiya

Perpendikulyar, mail və proyeksiyadan düzbucaqlı üçbucaq qurub nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: yaşıl çəmənlikdə dik duran hündür metal dirək və onu yerə bağlayan çəp, dartılmış troslar.

Bayraq dirəyini və ya radio antenini yerə bağlayan trosları görmüsən? Dirək yerə dik durur, troslar isə onun başından çəp enib yerdə bərkidilir. Hər tros dirəkdən uzundur, çünki dirəyin başından yerə ən qısa yol dirəyin özüdür.

Bu mənzərə bu mövzunun özüdür. Dirək perpendikulyardır, tros maildir, trosun yerə bağlandığı nöqtə ilə dirəyin dibi arasındakı parça isə proyeksiyadır. Üçü birlikdə düzbucaqlı üçbucaq qurur. Deməli, ikisini bilsən, üçüncüsünü Pifaqor teoremi ilə taparsan.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsinin bir çox məsələsi sonda məhz bu üçbucağa gəlib çıxır: piramidanın hündürlüyü, kubun təpəsindən üzünə qədər məsafə, mailin müstəvi ilə bucağı. Fəzadakı şəkildə bu üçbucağı görməyi öyrənsən, mürəkkəb görünən məsələ adi planimetriyaya çevrilir.

İmtahanda bu sənə vaxt qazandırır. Lazımi üçbucağı tapan şagird hesabı bir-iki sətirdə bitirir, tapmayan isə şəkildə azıb qalır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların əksəriyyəti bir düzbucaqlı üçbucağa gətirilir: onun katetləri nöqtədən müstəviyə qədər məsafə və mailin proyeksiyası, hipotenuzu isə maildir. İmtahan ya bu üç parçadan ikisini, ya da birini və mailin müstəvi ilə bucağını verib qalanını soruşur. Çətin tapşırıqlarda nöqtə çoxbucaqlının bütün təpələrindən və ya bütün tərəflərindən eyni məsafədə olur, bəzən iki perpendikulyar müstəvidən məsafələr verilir və onların kəsişmə xəttinə qədər məsafə tələb olunur. Başqa tapşırıqlarda parçanın uclarının və ya paraleloqramın üç təpəsinin müstəvidən məsafələri verilir, parçanın ortasından və ya dördüncü təpədən müstəviyə qədər məsafə soruşulur. Hipotenuzu müstəvi üzərində olan düzbucaqlı üçbucaq da verilir: üçbucağın müstəvisi həmin müstəvi ilə verilmiş bucaq əmələ gətirir və düz bucaq təpəsindən müstəviyə qədər məsafə soruşulur; bunun üçün hipotenuza endirilmiş hündürlük həmin bucağın sinusuna vurulur. Kub və düzbucaqlı paralelepipeddə də eyni qaydalar işləyir: təpədən onu saxlamayan üzə qədər məsafə təpədən çıxan və həmin üzə perpendikulyar olan tilin uzunluğudur.

Qayda

$A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə qədər məsafə $A$ -dan bu müstəviyə endirilmiş $AO$ perpendikulyarının uzunluğudur. $A$ -dan çəkilmiş istənilən $AB$ maili $AO$ -dan uzundur.
$AOB$ üçbucağında $\angle O=90^\circ$ : $AB^2=AO^2+OB^2$ . Mail müstəvi ilə $\varphi$ bucağı əmələ gətirirsə, $AO=AB\sin\varphi=OB\operatorname{tg}\varphi$ .
Nöqtə çoxbucaqlının təpələrindən eyni $l$ məsafədədirsə, $O$ xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir: $AO=\sqrt{l^2-R^2}$ .
Nöqtə çoxbucaqlının tərəflərindən eyni $m$ məsafədədirsə və perpendikulyarın oturacağı (proyeksiya) çoxbucaqlının daxilindədirsə, $O$ daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir: $AO=\sqrt{m^2-r^2}$ .
Parçanın ucları müstəvidən $a$ və $b$ məsafədədirsə, ortasının məsafəsi uclar bir tərəfdə olanda $\frac{a+b}{2}$ , müxtəlif tərəflərdə olanda $\frac{|a-b|}{2}$ -dir. Üçbucağın medianlarının kəsişmə nöqtəsi üçün təpələrin məsafələrinin ədədi ortasının modulu götürülür (o biri tərəfdəkilər mənfi işarə ilə).

Üçbucağı özün qur

Nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni ( $h$ ) və mailin proyeksiyasını ( $p$ ) dəyiş. Mailin uzunluğu və müstəvi ilə bucağının sinusu və tangensi dərhal yenilənir. $h=8$ , $p=15$ seçsən, 1-ci nümunəni görəcəksən.

Nümunələr

Mailin proyeksiyası

15

-dir, mail ilə müstəvi arasındakı

\varphi

bucağı üçün

\operatorname{tg}\varphi=\frac{8}{15}

. Nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni və mailin uzunluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $AO=OB\operatorname{tg}\varphi=15\times\frac{8}{15}=8$ , $AB=\sqrt{8^2+15^2}=17$ .

AOB kəsiyində AO = 8 müstəviyə məsafədir, OB = 15 proyeksiyadır, AB = 17 maildir; φ bucağı B-dədir. — $AO$ məsafə, $OB$ proyeksiya, $AB$ maildir

$M$ nöqtəsi tərəfi $6$ olan bərabərtərəfli üçbucağın hər təpəsindən $4$ məsafədədir. $M$ -dən üçbucağın müstəvisinə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: $R=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ , $MO=\sqrt{16-12}=2$ .

$M$ nöqtəsi tərəfi $6$ olan kvadratın hər tərəfindən $5$ məsafədədir. $M$ -dən kvadratın müstəvisinə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: oturacaq kvadratın mərkəzidir, $r=3$ , $MO=\sqrt{25-9}=4$ .

AB

parçasının ucları

\alpha

müstəvisindən

9

və

3

məsafədədir. Parçanın ortasından müstəviyə qədər məsafəni iki hal üçün tap: uclar müstəvinin bir tərəfindədir; uclar müstəvinin müxtəlif tərəflərindədir.

Həllə bax

$A$ , $B$ və orta nöqtə $M$ -dən müstəviyə perpendikulyarlar endir: $AA_1=9$ , $BB_1=3$ , $MM_1$ axtarılır. Bu perpendikulyarlar eyni müstəviyə perpendikulyar olduğu üçün ya bir-birinə paraleldir, ya da ( $AB$ müstəviyə perpendikulyar olanda) hamısı $AB$ düz xətti üzərindədir.
Uclar bir tərəfdədirsə və $AB$ müstəviyə perpendikulyar deyilsə, $A_1$ və $B_1$ fərqli nöqtələrdir. Onda $AA_1B_1B$ dördbucaqlısı (tərəfləri $AA_1$ , $A_1B_1$ , $B_1B$ və $AB$ ) oturacaqları $AA_1$ və $BB_1$ olan trapesiyadır. $MM_1$ bu trapesiyanın orta xəttidir: $\frac{9+3}{2}=6$ .
Uclar bir tərəfdədirsə və $AB$ müstəviyə perpendikulyardırsa, trapesiya yaranmır: hər üç perpendikulyarın oturacağı eyni nöqtədir və $A$ , $M$ , $B$ bu perpendikulyar üzərində yerləşir. $M$ nöqtəsi $A$ ilə $B$ -nin tam ortasında olduğundan $MM_1=3+\frac{9-3}{2}=6$ . Cavab yenə $6$ -dır.
Uclar müxtəlif tərəflərdədirsə, parça müstəvini kəsir və orta nöqtə uzaq ucun tərəfində qalır: $\frac{|9-3|}{2}=3$ .

Bir tərəfdə: $6$ ; müxtəlif tərəflərdə: $3$ .

Tipik səhv

$AB=10$ , $\varphi=30^\circ$ (mailin müstəvi ilə bucağı): $AO=AB\cos\varphi=10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

$AO=AB\sin\varphi=10\times\frac{1}{2}=5$ ; $5\sqrt{3}$ isə proyeksiyadır: $OB=AB\cos\varphi=5\sqrt{3}$

Ən çox rast gəlinən səhv bucağı yanlış katetə aid etməkdir. Mailin müstəvi ilə bucağı onun proyeksiya ilə bucağıdır, məsafə isə bu bucağın qarşısındakı katetdir və sinusla tapılır; bucaq mailin perpendikulyarla bucağı kimi verilibsə, kosinus götürülür.

İkinci səhv radiusları qarışdırmaqdır: təpələrdən bərabər uzaqlıqda $R$ , tərəflərdən bərabər uzaqlıqda isə $r$ lazımdır. Bir də mailin uzunluğunu məsafə sayma: məsafə perpendikulyarın uzunluğudur və istənilən maildən qısadır.

Özünü yoxla

$AO$ perpendikulyarı və $AB$ maili $A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə çəkilib. $AB=13$ , mailin proyeksiyası isə $OB=5$ -dir. $A$ nöqtəsindən müstəviyə qədər məsafəni tap.

Uzunluğu $18$ olan mail müstəviyə endirilmiş perpendikulyarla $60^\circ$ bucaq əmələ gətirir. Nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni tap.

$M$ nöqtəsi tərəfi $4$ olan kvadratın hər təpəsindən $5$ məsafədədir. $M$ nöqtəsindən kvadratın müstəvisinə qədər məsafəni tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar və maillər», səh. 53