Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı: düz bucaq harada yaranır

Düz xəttin müstəviyə nə vaxt perpendikulyar olduğunu yoxlamağı və fəza fiqurunda düz bucağı doğru təpədə tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: bağda torpağa basdırılmış taxta dirək və onun bir üzünə söykənmiş su tərəzisi.

Hasar dirəyini yerə basdıranda usta onun düz durub-durmadığını yoxlayır. Su tərəzisini dirəyin bir üzünə qoyur, sonra da bitişik üzünə. Bir dəfə yoxlamaq ona niyə azdır?

Çünki bir tərəfdən baxanda dirək tam düz görünə bilər, amma o biri tərəfə yatıq dayanmış olar. İki müxtəlif istiqamətdə yoxlayanda isə əyilməyə yer qalmır.

Həndəsə bu vərdişin səbəbini dəqiq izah edir. Bu mövzunun əsas qaydası da elə budur: müstəvidə hər istiqaməti yoxlamaq lazım deyil, düzgün seçilmiş iki istiqamət kifayətdir.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsində məsələlərin çoxu müstəvidəki bir neçə düzbucaqlı üçbucağa gətirilir. Perpendikulyarı görən kəs həmin üçbucaqları tapır və Pifaqor teoremini haraya tətbiq edəcəyini bilir. Görməyən isə rəqəmlərin arasında azır.

Piramida, prizma, nöqtədən müstəviyə məsafə və düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq kimi sonrakı mövzular da bu qaydaya söykənir. Onu indi möhkəm öyrənsən, sonra çox vaxt qazanacaqsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanın bu mövzuya aid tapşırıqlarında adətən çoxbucaqlının (kvadratın, düzbucaqlının, üçbucağın, rombun) təpəsindən və ya mərkəzindən onun müstəvisinə perpendikulyar qaldırılır. Sonra perpendikulyarın ucundan fiqurun təpələrinə qədər məsafə, yaranan üçbucağın sahəsi və ya bucağı soruşulur. Bəzi tapşırıqlarda düz bucağın harada yarandığını görmək lazımdır: perpendikulyar üçbucağın bir təpəsindən qaldırılır, sual isə başqa təpədəki bucaq haqqında olur. Nəzəri tapşırıqlarda hansı şərtin düz xəttin müstəviyə perpendikulyar olmasına təminat verdiyi yoxlanılır.

Qayda

Tərif: müstəvini kəsən düz xətt bu müstəvidə yerləşən bütün düz xətlərə perpendikulyardırsa, ona müstəviyə perpendikulyar deyilir və $l\perp\alpha$ kimi yazılır.
Əlamət: düz xəttin müstəviyə perpendikulyar olması üçün onun bu müstəvidə yerləşən kəsişən iki düz xəttə perpendikulyar olması kifayətdir.
Müstəvinin hər nöqtəsindən ona yalnız bir perpendikulyar düz xətt keçir.
$l\perp\alpha$ olarsa, perpendikulyarın ayağından müstəvidə çəkilən hər parça ilə düz bucaq yaranır, ona görə Pifaqor teoremi tətbiq olunur.
Düz bucaq başqa təpədə də ola bilər: $MA\perp\alpha$ və $\alpha$ üzərində $BC\perp AB$ olarsa, $BC$ həm $AB$ -yə, həm də $MA$ -ya perpendikulyardır, deməli $BC\perp(MAB)$ və $\angle MBC=90^\circ$ .

Özün hesabla

Hər məsələdə əvvəlcə düz bucağın harada olduğunu tap, sonra Pifaqor teoremini tətbiq et.

Nümunələr

PQ

parçası

\alpha

müstəvisinə perpendikulyardır və onu orta nöqtəsi

O

-da kəsir;

T\in\alpha

PT=10

PO=6

QT

və

OT

-ni tap.

Həllə bax

Həlli: $\angle POT=\angle QOT=90^\circ$ və $PO=QO$ , ona görə $POT$ və $QOT$ üçbucaqları konqruyentdir: $QT=PT=10$ , $OT=\sqrt{100-36}=8$ .

POT və QOT kəsikləri: PO = QO, PO = 6, OT = 8, PT = QT = 10; PQ müstəviyə perpendikulyardır. — $PQ\perp\alpha$ , $O,T\in\alpha$ ; $POT$ və $QOT$ konqruyentdir

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $AC=3$ , $BC=6$ ; $AM\perp(ABC)$ , $AM=4$ . $MBC$ üçbucağının sahəsini tap.

Həllə bax

Həlli: $MC=\sqrt{4^2+3^2}=5$ . $BC\perp AC$ və $BC\perp AM$ , deməli $BC\perp(AMC)$ , yəni $BC\perp MC$ . Sahə: $\frac{1}{2}\times 6\times 5=15$ .

Düz xətt trapesiyanın hər iki oturacağına perpendikulyardır. O, trapesiyanın müstəvisinə perpendikulyardırmı?

Həllə bax

Həlli: mütləq deyil, çünki oturacaqlar paraleldir; məsələn, trapesiyanın hündürlüyü də hər iki oturacağa perpendikulyardır, amma müstəvidə yerləşir. Yan tərəflərə perpendikulyar olsaydı, cavab «hə» olardı.

Tipik səhv

$KA\perp(ABCD)$ , $ABCD$ düzbucaqlıdır, deməli $\angle KCD=90^\circ$ .

$CD\perp AD$ və $CD\perp KA$ , deməli $CD\perp(KAD)$ , yəni $\angle KDC=90^\circ$ ; $\angle KCD$ isə iti bucaqdır.

Perpendikulyarın ayağındakı bucaqlar həmişə düzdür, digər təpələrdə isə düz bucaq yalnız əlamətlə əsaslandırıldıqda var. Əlaməti iki paralel düz xəttə tətbiq etmək perpendikulyarlığa təminat vermir: düz xətlər kəsişən olmalıdır.

Həmçinin müstəvidəki fiqurun bucaqlarını perpendikulyarın yaratdığı üçbucağa köçürmə: düzbucaqlının $C$ bucağının düz olması $KCD$ üçbucağında $C$ bucağının da düz olması demək deyil.

Özünü yoxla

$a$ və $b$ düz xətləri $\alpha$ müstəvisində yerləşir. $l\perp a$ və $l\perp b$ olduğu məlumdur. Hansı əlavə şərt $l\perp\alpha$ nəticəsinə gəlməyin üçün kifayətdir?

$A$ və $B$ nöqtələri $\alpha$ müstəvisindədir. $MA\perp\alpha$ , $MB=17$ və $AB=15$ olarsa, $MA$ -nı tap.

$ABC$ üçbucağında $AB\perp AC$ və $MB\perp(ABC)$ -dir. $MAC$ üçbucağında düz bucağı seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı», səh. 51