Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Paralel müstəvilər: əlamət, xassələr və aralarındakı məsafə

Müstəvilərin paralel olduğunu yoxlamağı, aralarındakı məsafəni tapmağı və kəsiklərdə oxşarlıqdan istifadə etməyi öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş, işıqlı otaq; taxta döşəmə, ağ düz tavan və açıq rəngli divarlar.

Otağına bax: döşəmə ilə tavan heç yerdə görüşmür. Həndəsədə belə iki səthin modeli paralel müstəvilərdir.

Tutaq ki, otağın hündürlüyünü ölçürsən. Ruletkanı döşəmədən tavana çəkirsən, amma bir az əyri tutsan, rəqəm lazım olandan böyük çıxır. Düz cavabı yalnız şaquli tutulan ruletka verir. Divara da bax: o, döşəməni və tavanı iki paralel xətt boyunca kəsir.

Bu mövzuda həmin müşahidələr qaydaya çevrilir: müstəvilərin paralel olduğunu necə bilmək olar, aralarındakı məsafə necə ölçülür və onları kəsən düz xətlərlə, müstəvilərlə nə baş verir.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsində çox məsələ paralel müstəvilərə gəlib çıxır: prizmanın oturacaqları, kubun qarşı üzləri, piramidanı oturacağa paralel kəsən müstəvi. Məsafəni, parçanı və onun proyeksiyasını bir düzbucaqlı üçbucaqda görə bilsən, cavabı Pifaqor teoremi ilə bir sətirdə taparsan.

Doğru təklifi seçən suallarda isə əsas iş planimetriyadan qalan vərdişlərə ehtiyatla yanaşmaqdır: müstəvidə doğru olan hər fikir fəzada doğru deyil.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan paralel müstəvilərin xassələrini iki yolla yoxlayır. Birincisi «Hansı təklif doğrudur?» tipli suallardır: kəsişməyən müstəvilər, onları kəsən düz xətt və ya üçüncü müstəvi, verilmiş nöqtədən keçən paralel müstəvi, çarpaz düz xətlərdən keçən müstəvilər haqqında fikirlərdən doğru olanı seçmək lazımdır. İkincisi hesablamadır: bir müstəvidəki üçbucağın təpələrindən paralel düz xətlər çəkilir və digər müstəvidə alınan üçbucağın bucağı və ya perimetri soruşulur; müstəvilər arasındakı parçanın uzunluğu, proyeksiyası və məsafə bir-biri ilə əlaqələndirilir; kubda çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə onlardan keçən paralel müstəvilər vasitəsilə tapılır.

Qayda

Ortaq nöqtəsi olmayan iki müstəvi paraleldir.
Əlamət: $\alpha$ müstəvisinin kəsişən iki düz xəttinin hər biri $\beta$ müstəvisindəki bir düz xəttə paraleldirsə, $\alpha\parallel\beta$ . Bir cüt paralel düz xətt kifayət etmir.
Müstəvidən kənardakı nöqtədən ona paralel yalnız bir müstəvi keçir; üçüncü müstəviyə paralel iki müstəvi bir-birinə paraleldir.
Paralel müstəvilərdən birindəki hər düz xətt digər müstəviyə paraleldir; onlardan birini kəsən düz xətt və ya müstəvi o birini də kəsir.
Üçüncü müstəvi paralel müstəviləri paralel düz xətlər üzrə kəsir; paralel düz xətlərin bu müstəvilər arasındakı parçaları bərabərdir.
Müstəvilərdən birinə perpendikulyar düz xətt o birinə də perpendikulyardır. Məsafə $d$ bu perpendikulyarın uzunluğudur: uzunluğu $l$ , proyeksiyası $p$ olan parça üçün $d=\sqrt{l^2-p^2}$ .
$S$ nöqtəsindən keçən iki düz xətt $\alpha$ -nı $A$ , $B$ , $\beta$ -nı $A_1$ , $B_1$ nöqtələrində kəsirsə, $AB\parallel A_1B_1$ və $\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{SA_1}{SA}$ .
Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə onlardan keçən paralel müstəvilər arasındakı məsafəyə bərabərdir.

Fəzada yoxla

Hər sualda bir cavab seç. Bəzi variantlar müstəvidə doğru olardı, amma burada söhbət fəzadan gedir.

Nümunələr

Paralel müstəvilər arasındakı məsafə

9

-dur. Ucları bu müstəvilər üzərində olan parçanın uzunluğu

15

-dir. Onun proyeksiyasını tap.

Həllə bax

Həlli: $p=\sqrt{15^2-9^2}=12$ ; proyeksiya hər iki müstəvidə eynidir.

Paralel müstəvilər arasındakı parçanın kəsiyi: məsafə 9, mail 15, proyeksiya 12; məsafə ilə proyeksiya düz bucaq yaradır. — $d=9$ , $l=15$ , $p=12$ : məsafə perpendikulyar üzrə ölçülür

$\alpha\parallel\beta$ . $S$ nöqtəsindən keçən iki düz xətt $\alpha$ -nı $A$ , $B$ , $\beta$ -nı $A_1$ , $B_1$ nöqtələrində kəsir və $A$ nöqtəsi $SA_1$ parçası üzərindədir. $SA=3$ , $AA_1=5$ , $AB=6$ olarsa, $A_1B_1$ -i tap.

Həllə bax

Həlli: $SA_1=3+5=8$ , $A_1B_1=6\times\frac{8}{3}=16$ .

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda $AB_1D_1$ və $C_1BD$ müstəvilərinin paralel olduğunu göstər.

Həllə bax

Həlli: $B_1D_1\parallel BD$ və $AB_1\parallel DC_1$ (qarşı üzlərin diaqonalları). Bir müstəvinin kəsişən iki düz xətti digərinin iki düz xəttinə paraleldir, deməli müstəvilər paraleldir.

Tipik səhv

$\alpha\parallel\beta$ , $a$ düz xətti $\alpha$ -da, $b$ düz xətti $\beta$ -dadır, deməli $a\parallel b$ .

$a$ və $b$ -nin ortaq nöqtəsi yoxdur, amma onlar paralel də, çarpaz da ola bilər.

Ən çox rast gəlinən səhv planimetriyadakı fikirləri fəzaya köçürməkdir: paralel müstəvilərdə yerləşən iki düz xətt mütləq paralel deyil, çarpaz da ola bilər; bir düz xəttə paralel olan və ya bir müstəviyə perpendikulyar olan iki müstəvi isə kəsişə bilər. Əlaməti tətbiq edəndə hər müstəvidə götürülən iki düz xəttin kəsişdiyini və uyğun xətlərin paralel olduğunu yoxla.

Oxşarlıq məsələlərində əvvəlcə $S$ nöqtəsinin yerinə bax: o, müstəvilər arasındadırsa, $SA_1=AA_1-SA$ olur və cəm götürmək səhv cavab verir. Məsafə soruşulanda parçanın özünü və ya proyeksiyasını deyil, perpendikulyarı tap.

Özünü yoxla

$\alpha\parallel\beta$ . $\gamma$ müstəvisi onları uyğun olaraq $a$ və $b$ düz xətləri üzrə kəsir. Bu düz xətlər necə yerləşir?

İki paralel düz xəttin iki paralel müstəvi arasında qalan parçalarının uzunluqları $2x+1$ və $x+6$ -dır. Bu parçalardan birinin uzunluğunu tap.

Ucları iki paralel müstəvidə olan bir parçanın uzunluğu $13$ , bu müstəvilərdən biri üzərindəki proyeksiyasının uzunluğu $5$ -dir. Ucları həmin müstəvilərdə olan başqa parçanın eyni müstəvi üzərindəki proyeksiyasının uzunluğu $9$ -dur. İkinci parçanın uzunluğunu tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarında özünü sına

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Paralel müstəvilər», səh. 64