Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Fəzada düz xətlərin perpendikulyarlığı: çarpaz xətlər və müstəvi

Fəzada çarpaz düz xətlərin perpendikulyar olub-olmadığını tanıyacaq və müstəviyə perpendikulyar çəkilən məsələlərdə məsafələri tapacaqsan.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: həyətdə şaquli basdırılmış taxta dirək və onun yan üzünə tutulmuş tərəzi.

Həyətdə dirək basdıran usta ona tərəzi tutub yoxlayır, amma bir dəfə yox, iki dəfə: əvvəl dirəyin bir üzünə, sonra yanındakı üzə. Bir tərəfdən düz görünən dirək o biri tərəfə əyilmiş ola bilər. Usta bunu düstursuz da bilir, sən isə bu gün bunun həndəsədəki səbəbini öyrənəcəksən.

Üfüqi səthə şaquli basdırılmış dirək həmin səthdə çəkilən istənilən düz xəttə perpendikulyardır, hətta o xətt dirəyin dibindən keçməsə də. Bu xətlər dirəklə kəsişmir, amma aralarındakı bucaq yenə $90^\circ$ -dir. Düzbucaqlı otağın küncünə bax: döşəmənin iki kənarı və divarlar arasındakı şaquli kənar üçü də bir-birinə perpendikulyardır.

Niyə lazımdır

Fəza məsələlərinin çoxu sonda adi düzbucaqlı üçbucağa gəlib çıxır. Çətinlik Pifaqor teoremində deyil, həmin üçbucağı fəzada görməkdədir: düz bucaq hansı təpədədir, hipotenuz hansı parçadır. Bu mövzu sənə həmin üçbucağı tapmağı öyrədir.

Bu bacarıq piramida, prizma və kub məsələlərində də lazım olacaq. Hündürlük, apofema, diaqonal kimi parçaları hesablamaq, demək olar ki, həmişə buradakı qaydalara söykənir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan bu mövzuda əsasən hesablama məsələləri verir. Düzbucaqlının, kvadratın və ya üçbucağın təpəsindən, yaxud onun daxilinə və ya xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzindən müstəviyə perpendikulyar qaldırılır; onun ucundan fiqurun təpələrinə, tərəflərinə və ya çevrənin nöqtələrinə qədər məsafəni, bəzən də perpendikulyarın özünü tapmaq tələb olunur. Cüt-cüt perpendikulyar üç parçadan naməlum olanı hesablamaq, verilmiş münasibətlərdən (məsələn, $AK\perp KM$ , $CK\perp(AKM)$ ) doğru olanları seçmək, kubda və paralelepipeddə perpendikulyar və çarpaz düz xətləri tanımaq da gəlir. Çətin variantlarda düzbucaqlı üçbucağı fəzada özün görməlisən.

Qayda

Fəzada aralarındakı bucaq $90^\circ$ olan iki düz xətt perpendikulyardır. Belə düz xətlər kəsişə də, çarpaz da ola bilər: kubda $AB\perp AD$ (kəsişir) və $AB\perp CC_1$ (çarpazdır).
Çarpaz düz xətlər arasındakı bucağı tapmaq üçün onlardan birinə paralel düz xətt çəkib digəri ilə kəsişdiririk.
$a\parallel b$ və $a\perp c$ olarsa, $b\perp c$ .
Müstəviyə perpendikulyar düz xətt həmin müstəvidəki hər bir düz xəttə perpendikulyardır: $MA\perp\alpha$ , $A\in\alpha$ və $P\in\alpha$ olarsa, $MP^2=MA^2+AP^2$ .
Düz xətt müstəvidəki kəsişən iki düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəviyə də perpendikulyardır; bir düz xəttə perpendikulyarlıq bəs etmir.
$OA$ , $OB$ , $OC$ cüt-cüt perpendikulyardırsa, $AB^2=OA^2+OB^2$ , $BC^2=OB^2+OC^2$ , $AC^2=OA^2+OC^2$ .

Kubda yoxla

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunu təsəvvür et: $ABCD$ aşağı üzdür, $A_1B_1C_1D_1$ yuxarı üz. Hər sualda doğru cavabı seç.

Nümunələr

Kubda

A_1C_1

və

BD

düz xətləri arasındakı bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: $A_1C_1\parallel AC$ , kvadratın diaqonalları isə perpendikulyardır, yəni $AC\perp BD$ . Onda $A_1C_1\perp BD$ , bucaq $90^\circ$ -dir.

Kubda yuxarı üzün A₁C₁ diaqonalı AC-yə paraleldir; oturacaqda AC və BD perpendikulyardır, buna görə A₁C₁ və BD də perpendikulyardır. — $A_1C_1\parallel AC$ , $AC\perp BD$ ; $A_1C_1\perp BD$

$ABCD$ düzbucaqlısında $AB=4$ , $AD=3$ ; $AM$ onun müstəvisinə perpendikulyardır və $AM=12$ . $MC$ -ni tap.

Həllə bax

Həlli: $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , $AM\perp AC$ , ona görə $MC=\sqrt{12^2+5^2}=13$ .

$OA$ , $OB$ , $OC$ parçaları cüt-cüt perpendikulyardır və hər birinin uzunluğu $2$ -dir. $ABC$ üçbucağının perimetrini tap.

Həllə bax

Həlli: hər tərəf $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ -dir, perimetr $6\sqrt{2}$ .

Tipik səhv

$MA\perp(ABC)$ , $ABCD$ düzbucaqlıdır, $MA=4$ , $AB=3$ , $BC=4$ . Şagird yazır: « $MB=5$ ; $MBC$ üçbucağında düz bucaq $C$ təpəsindədir, ona görə $MC=\sqrt{MB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3$ ».

$BC\perp AB$ və $BC\perp MA$ , bu iki düz xətt kəsişir, deməli $BC\perp(MAB)$ və $BC\perp MB$ . Düz bucaq $B$ təpəsindədir, hipotenuz $MC$ -dir: $MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$ .

Planimetriyadan qalan vərdişlə şagird perpendikulyar düz xətlərin mütləq kəsişdiyini düşünür, çarpaz perpendikulyarları görmür və $MA$ müstəviyə perpendikulyar olanda düz bucağı yalnız $A$ nöqtəsində axtarır; buna görə hipotenuzu səhv seçib səhv cavab alır.

Unutma ki, düz xətlər arasındakı bucaq $90^\circ$ -dən böyük ola bilməz.

Özünü yoxla

$a$ və $b$ düz xətləri $\alpha$ müstəvisindədir, $a\parallel b$ . $c\perp a$ və $c\perp b$ olduğuna görə $c\perp\alpha$ nəticəsini mütləq çıxarmaq olarmı?

$MA$ düz xətti $\alpha$ müstəvisinə $A$ nöqtəsində perpendikulyardır. Həmin müstəvidəki $b$ düz xətti $A$ -dan keçmir. $MA$ və $b$ necə yerləşir?

$MA\perp\alpha$ , $A,P\in\alpha$ , $MP=17$ və $AP=15$ verilib. $MA$ -nın uzunluğunu tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı», səh. 51