Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Müstəvilərin paralellik əlaməti: niyə «kəsişən» sözü vacibdir

İki müstəvinin paralel olduğunu düzgün əsaslandırmağı və paralel müstəvilər arasındakı məsafəni tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: divara vurulmuş taxta rəf, üstündə su tərəzisi və bir neçə kitab.

Divara rəf vurursan və ustanın su tərəzisini götürürsən. Tərəzini rəfin uzunu boyunca qoyursan, qabarcıq düz ortada dayanır. Rəf üfüqidirmi? Bunu hələ bilmirik.

Rəf bu xəttin ətrafında irəli və ya arxaya əyilə bilər, kitablar da sürüşüb düşər. Usta ona görə tərəzini bir də eninə qoyur. Kəsişən iki istiqamətin hər ikisi üfüqidirsə, rəf də üfüqidir və üfüqi döşəməyə paraleldir.

Bu, elə müstəvilərin paralellik əlamətidir. Bir xətt bəs etmir, iki paralel xətt də bəs etmir. Kəsişən iki xətt lazımdır.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsində çox məsələ «bu iki müstəvi paraleldir» cümləsi ilə başlayır. Sonra qalan iş ona söykənir: məsafəni tapırsan, kəsiyi qurursan, çarpaz düz xətlər arasındakı məsafəni iki paralel müstəviyə gətirirsən. Əsaslandırma səhv olsa, bütün həll boşa çıxır.

Əlaməti bilən adam kubda və ya prizmada paralel üzləri bir baxışda görür və uzun hesablamanı bir perpendikulyarın uzunluğu ilə əvəz edir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzu üzrə tapşırıqların bir hissəsində bir neçə təklif verilir və onlardan doğru olanı seçmək lazımdır: iki müstəvinin paralel olması üçün hansı şərtin kifayət etdiyini, hansının isə çatmadığını ayırmaq tələb olunur. Digər hissədə kub, paralelepiped, prizma və ya piramida verilir: onun təpələrindən və tillərinin nöqtələrindən keçən müstəvilər arasında paralel olanları tanımaq, sonra isə paralel müstəvilər arasındakı məsafəni, onların arasında qalan parçanın proyeksiyasını və ya kəsiyin ölçülərini hesablamaq lazım gəlir. Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə də bəzən onlardan keçən paralel müstəvilərin köməyi ilə tapılır.

Qayda

Əlamət: $\alpha$ müstəvisinin kəsişən $a$ və $b$ düz xətləri, uyğun olaraq, $\beta$ müstəvisinin $a_1$ və $b_1$ düz xətlərinə paraleldirsə, onda $\alpha\parallel\beta$ . Eyni nəticə $a$ və $b$ -nin hər biri $\beta$ müstəvisinə paralel olduqda da alınır.
$a\parallel a_1$ , $b\parallel b_1$ ; hər müstəvidə düz xətlər kəsişir
Şərtdəki «kəsişən» sözü vacibdir: iki paralel düz xətt bunun üçün yetərli deyil.
Bir düz xəttə perpendikulyar olan iki müxtəlif müstəvi paraleldir.
Müstəvi xaricindəki nöqtədən bu müstəviyə paralel yalnız bir müstəvi keçir.
Paralel müstəvilər arasındakı məsafə onlardan birinin hər hansı nöqtəsindən digərinə endirilmiş perpendikulyarın uzunluğudur.

Bu şərt kifayətdirmi?

Hər dəfə bir şərt verilir. Bu şərtdən müstəvilərin paralel olduğu çıxırmı? Seç.

Nümunələr

ABCDA_1B_1C_1D_1

paralelepipedində

ABB_1A_1

və

DCC_1D_1

üzlərinin müstəviləri necə yerləşir?

Həllə bax

Həlli: $AB\parallel DC$ və $AA_1\parallel DD_1$ , həm də $AB$ ilə $AA_1$ kəsişir; əlamətə görə bu müstəvilər paraleldir.

Tili $4$ olan kubun $AA_1$ , $BB_1$ və $CC_1$ tillərinin orta nöqtələri $P$ , $Q$ , $R$ -dir. $PQR$ və $ABC$ müstəviləri arasındakı məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: $PQ\parallel AB$ , $QR\parallel BC$ , deməli, $PQR\parallel ABC$ . $AA_1$ tili hər iki müstəviyə perpendikulyardır, axtarılan məsafə $AP=2$ -dir.

$T$ nöqtəsi $\gamma$ müstəvisindən kənardadır. $T$ -dən $\gamma$ -ya paralel müstəvini necə qurmaq olar?

Həllə bax

Həlli: $\gamma$ üzərində kəsişən iki düz xətt götürüb $T$ -dən onlara paralel iki düz xətt çəkirik; bu iki düz xəttin təyin etdiyi müstəvi axtarılan müstəvidir.

Tili

5

olan

ABCDA_1B_1C_1D_1

kubunda

AB

və

CC_1

çarpaz düz xətləri arasındakı məsafəni paralel müstəvilərin köməyi ilə tap.

Həllə bax

$AB$ düz xətti $ABB_1A_1$ müstəvisində, $CC_1$ isə $DCC_1D_1$ müstəvisində yerləşir.
Bu iki üz paraleldir: $AB\parallel DC$ , $AA_1\parallel DD_1$ , $AB$ ilə $AA_1$ isə kəsişir.
Deməli, çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə bu müstəvilər arasındakı məsafəyə bərabərdir.
$AD$ tili $AB$ -yə də, $AA_1$ -ə də perpendikulyardır, ona görə də $ABB_1A_1$ müstəvisinə perpendikulyardır. Məsafə $AD=5$ -dir.

$5$

Tipik səhv

$\alpha$ müstəvisinin $a$ və $b$ düz xətləri $\beta$ -ya paraleldir, deməli, $\alpha\parallel\beta$ (burada $a\parallel b$ ).

$\alpha$ müstəvisinin kəsişən $a$ və $b$ düz xətləri $\beta$ -ya paraleldir, deməli, $\alpha\parallel\beta$ .

Ən çox rast gəlinən səhv əlamətdəki «kəsişən» sözünü unutmaqdır. Divarda döşəməyə paralel çəkilmiş iki üfüqi xətt divarı döşəməyə paralel etmir, çünki bu xətlər bir-birinə paraleldir. «Bir düz xəttə paralel olan müstəvilər paraleldir» və ya «üçüncü müstəviyə perpendikulyar olan müstəvilər paraleldir» fikirləri də eyni səhvdir, otağın qonşu divarları buna misaldır.

Hesablama tapşırıqlarında isə əvvəlcə paralelliyi əsaslandır, sonra məsafəni perpendikulyar üzrə ölç. Müstəvilər arasındakı maili parçanın uzunluğu məsafə deyil.

Özünü yoxla

Müxtəlif müstəvilərdə yerləşən $ABC$ və $DEF$ üçbucaqlarında $AB\parallel DE$ və $AC\parallel DF$ -dir. Bu üçbucaqların müstəviləri haqqında doğru nəticəni seç.

İki müxtəlif $\alpha$ və $\beta$ müstəvisi $l$ düz xəttinə perpendikulyardır. $l$ bu müstəviləri uyğun olaraq $A$ və $B$ nöqtələrində kəsir və $AB=8$ sm-dir. Müstəviləri birləşdirən başqa bir maili parçanın uzunluğu $10$ sm olarsa, müstəvilər arasındakı məsafəni tap.

$\beta\parallel\alpha$ və $P$ nöqtəsi $\beta$ müstəvisinin üzərindədir. $P$ -dən keçən, $\alpha$ -ya paralel və $\beta$ -dan fərqli neçə müstəvi var?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Paralel müstəvilər», səh. 64