Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Fəzada düz xətlərin və müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti: paralel, kəsişən və çarpaz

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi», səh. 44
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti. İkiüzlü bucaqlar», səh. 58

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda üç növ tapşırıq gəlir. Birincisi, verilmiş təkliflərdən doğrusunu seçmək: iki düz xəttin, düz xətlə müstəvinin və iki müstəvinin hansı vəziyyətdə ola biləcəyini dəqiq bilmək lazımdır. İkincisi, kub, prizma və piramida üzərində paralel, kəsişən və çarpaz düz xətləri tanımaq, iki müstəvinin kəsişmə xəttini göstərmək. Üçüncüsü, hesablama: parçanın uclarından və daxili nöqtəsindən müstəvini kəsən paralel düz xətlər yaxud perpendikulyarlar çəkilir, parçanın müstəvini kəsib-kəsməməsindən asılı olaraq naməlum uzunluq tapılır; bəzən bu, uyğunluq tapşırığı şəklində verilir.

Qayda

İki düz xətt fəzada ya paraleldir (bir müstəvidədir, ortaq nöqtəsi yoxdur), ya bir nöqtədə kəsişir, ya da çarpazdır (heç bir müstəvi ikisini birlikdə saxlamır). Müstəvi üzərindəki düz xətt bu müstəvini həmin düz xəttə aid olmayan nöqtədə kəsən düz xətlə çarpazdır.
Düz xətt müstəvi üzərində yerləşir, müstəvini bir nöqtədə kəsir və ya ona paraleldir (ortaq nöqtə yoxdur).
İki müstəvi paraleldir, bir düz xətt üzrə kəsişir və ya üst-üstə düşür. Kəsişmə xəttini tapmaq üçün iki ortaq nöqtə axtarılır.
Paralel düz xətlər bir müstəvi təyin edir, ona görə $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ paralel parçaları bir müstəvidə olur və trapesiyanın orta xətti, oxşarlıq tətbiq edilir. Uclar müstəvidən $a$ və $b$ məsafədədirsə, orta nöqtənin məsafəsi parça müstəvini kəsmədikdə $\frac{a+b}{2}$ , kəsdikdə $\frac{|a-b|}{2}$ olur.

İki müxtəlif düz xətt
Vəziyyət	Bir müstəvidə?	Ortaq nöqtə
Paralel	Bəli	Yoxdur
Kəsişən	Bəli	Bir nöqtə
Çarpaz	Xeyr	Yoxdur

Düz xətt və müstəvi
Vəziyyət	Ortaq hissə
Müstəvi üzərindədir	Bütün düz xətt
Müstəvini kəsir	Bir nöqtə
Müstəviyə paraleldir	Yoxdur

Nümunələr

Kubda $AB_1$ və $CD_1$ düz xətlərinin vəziyyətini müəyyən et.

Həlli: $AB_1$ $ABB_1A_1$ üzündə, $CD_1$ isə ona paralel $DCC_1D_1$ üzündədir, ona görə ortaq nöqtələri yoxdur. $AB_1\parallel DC_1$ , $DC_1$ isə $CD_1$ ilə kəsişir, deməli, paralel də deyillər: düz xətlər çarpazdır.

$PQ$ parçası müstəvini kəsir, $P$ və $Q$ ondan 5 və 13 məsafədədir. Parçanın ortası müstəvidən hansı məsafədədir?

Həlli: bir tərəfdəki məsafəni müsbət, o biri tərəfdəkini mənfi götürək: $\frac{5+(-13)}{2}=-4$ , yəni orta nöqtə $Q$ tərəfdə, müstəvidən 4 məsafədədir.

$ABCA_1B_1C_1$ prizmasında $ABC_1$ və $A_1B_1C$ müstəviləri hansı düz xətt üzrə kəsişir?

Həlli: $AC_1$ və $A_1C$ diaqonalları $M$ , $BC_1$ və $B_1C$ isə $N$ nöqtəsində kəsişir. $M$ və $N$ hər iki müstəviyə aiddir, deməli, kəsişmə xətti $MN$ -dir.

Tipik səhv

Ən çox rast gəlinən səhv “kəsişmirsə, paraleldir” fikridir: fəzada ortaq nöqtəsi olmayan düz xətlər çarpaz da ola bilər, paralellik üçün onların bir müstəvidə olması da şərtdir. Tərsinə, bir müstəvidə yatan düz xətlərin parçaları şəkildə kəsişməsə də, uzantıları kəsişə bilər və belə düz xətlər çarpaz deyil. Hesablama tapşırıqlarında isə əvvəlcə parçanın müstəvini kəsib-kəsmədiyini yoxla. Orta nöqtənin məsafəsi uclar müxtəlif tərəflərdədirsə, məsafələrin fərqinin yarısına, bir tərəfdədirsə, cəminin yarısına bərabərdir. Parçanın uzunluğunu tapanda məsafələrin cəmi (müxtəlif tərəflər) və ya fərqi (bir tərəf) hündürlük fərqidir; uzunluq düzbucaqlı üçbucaqdan tapılır.