Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Fəzada xətlər və müstəvilər: mail, proyeksiya və bucaqlar

Mail, proyeksiya və perpendikulyarı fərqləndirib məsafəni, xəttlə müstəvinin bucağını və ikiüzlü bucağı hesablaya biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: daş döşəmədə dayanan üçayaqlı taxta taburet və yanında yarıaçıq qapı.

Üçayaqlı taburetin ayaqlarının ucları həmişə bir müstəvidə olur. Dördayaqlı stulun ayaqlarının ucları isə eyni müstəvidə olmaya bilər, ona görə stul düz döşəmədə də yırğalana bilər və altına qatlanmış kağız qoymalı olursan. Səbəb həndəsədir: taburetin üç ayağının ucu bir düz xətt üzərində deyil, belə üç nöqtədən isə həmişə bir müstəvi keçir. Dördüncü ayağın ucu o müstəvidən kənarda qala bilər.

Qapını aç. Qapının şarnirlərindən keçən düz xətt ikiüzlü bucağın tilidir, qapı ilə divar isə iki üzdür. Qapını nə qədər çox açsan, aralarındakı bucaq da o qədər böyüyür. Bayraq dirəyinin başından yerə ən qısa yol düz aşağı gedir. Dirəyin başından yerə maili çəkilmiş hər ip ondan uzundur.

Bu mövzu fəzadakı belə vəziyyətləri bir-iki düzbucaqlı üçbucağa gətirir. Sonrası tanış işdir: Pifaqor teoremi və sinus.

Niyə lazımdır

Stereometriyanın sonrakı mövzuları bu mövzunun üstündə qurulur. Piramidanın hündürlüyü oturacaq müstəvisinə perpendikulyardır. Bu müstəviyə perpendikulyar olmayan yan til maildir; hündürlüyün oturacağını həmin tilin oturacaqdakı ucu ilə birləşdirən parça onun proyeksiyasıdır. Kub və prizma məsələlərində də çarpaz xətlərin bucağı, üzlər arasındakı bucaq tez-tez lazım olur.

Fəza fiqurunun kağızdakı şəklində düz bucaq çox vaxt düz görünmür, ona görə gözə inanmaq olmaz. Qaydaları bilirsənsə, hansı üçbucağın düzbucaqlı olduğunu dəqiq deyə bilirsən və hesablama bir neçə sətrə sığır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda mailin proyeksiyasını, nöqtənin müstəvidən və ya düz xətdən məsafəsini, xəttlə müstəvinin bucağını hesablayırsan. Təpələrdən bərabər uzaqlıqdakı nöqtənin proyeksiyasını müəyyənləşdirmək, ikiüzlü bucağı tapmaq da tələb olunur. Əsas addım uyğun düzbucaqlı üçbucağı seçməkdir.

Qayda

Müstəvi eyni xəttə aid olmayan üç nöqtə ilə müəyyənləşir. İki kəsişən xətt, yaxud iki müxtəlif paralel xətt də yeganə müstəvi müəyyən edir.
İki müxtəlif xətt kəsişə, paralel və ya çarpaz ola bilər. Çarpaz xətlər eyni müstəviyə yerləşmir; bucaqlarını tapmaq üçün bir nöqtədən onlara paralel xətlər çək.
Xətt müstəvidə yerləşə, onu bir nöqtədə kəsə, yaxud onunla ortaq nöqtəsiz ola bilər. Sonuncu hal paralellik deməkdir. Müstəvidə yerləşməyən xətt həmin müstəvidəki bir xəttə paraleldirsə, müstəviyə də paraleldir.
Perpendikulyarlıq üçün müstəvidəki iki kəsişən xəttə onların ortaq nöqtəsində perpendikulyarlığı göstərmək kifayətdir.
$PH\perp\alpha$ , $H,A\in\alpha$ , $A\ne H$ olduqda $PA$ mail, $HA$ onun proyeksiyasıdır. $PA^2=PH^2+HA^2$ . Müstəviyə məsafə $PH$ -dır; eyni nöqtədən çəkilmiş maillərdən proyeksiyası uzun olanın özü də uzundur.
Xəttlə müstəvinin bucağı mail ilə proyeksiyası arasındadır: $\theta=\angle PAH$ . Burada $\sin\theta=PH/PA$ , $\cos\theta=HA/PA$ , $\tan\theta=PH/HA$ .
Üç perpendikulyar teoremi: $A$ -dan keçən $a\subset\alpha$ üçün $a\perp HA\iff a\perp PA$ . Buna görə $HA\perp a$ olarsa, $P$ -dən $a$ xəttinə məsafə $PA$ -dır.
Nöqtə üçbucağın təpələrindən eyni $l$ məsafəsindədirsə, proyeksiyası çevrə mərkəzi olur: $PH=\sqrt{l^2-R^2}$ . Burada $R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur; düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun yarısıdır.
İkiüzlü bucaq üçün tilin eyni nöqtəsindən hər üzdə tilə perpendikulyar şüa çək. Şüaların bucağı $\varphi$ axtarılan xətti bucaqdır. $HP=u$ , $HQ=v$ olduqda $PQ^2=u^2+v^2-2uv\cos\varphi$ . Bir müstəvidəki nöqtənin kəsişmə xəttinə məsafəsi $h$ olarsa, digər müstəviyə məsafəsi $d=h\sin\varphi$ olur.
İki müxtəlif müstəvi ya kəsişir, ya paraleldir. Birindəki iki kəsişən xətt digərindəki iki kəsişən xəttə uyğun olaraq paraleldirsə, müstəvilər paraleldir. Bir müstəvi digərinə perpendikulyar xətti özündə saxlayırsa, bu müstəvilər perpendikulyardır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

d=h\sin\theta,\qquad h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

$h$ bir müstəvidəki nöqtənin kəsişmə xəttindən, $d$ isə digər müstəvidən məsafəsi, $\theta$ müstəvilər arasındakı bucaqdır. Kəsişmə xətti düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzudursa, $a$ və $b$ katetlərindən əvvəl $h$ hündürlüyünü hesabla.

Öyrənilməli düstur

R=\frac{c}{2},\qquad h=\sqrt{l^2-R^2}

Üçbucağın təpələrinə məsafələri eyni olan fəza nöqtəsinin ortoqonal proyeksiyası xarici çevrənin mərkəzidir; düzbucaqlı üçbucaqda bu mərkəz hipotenuzu yarıya bölür. Burada $l$ təpəyə məsafə, $c$ hipotenuz, $R$ çevrənin radiusu, $h$ isə həm müstəviyə, həm də hipotenuza məsafədir.

Öyrənilməli düstur

h^2=l_1^2-p_1^2,\qquad p_2=\sqrt{l_2^2-h^2}

Eyni nöqtədən bir müstəviyə çəkilən maillər üçün $l_1,l_2$ uzunluqları, $p_1,p_2$ proyeksiya uzunluqlarını, $h$ isə ortaq perpendikulyarın uzunluğunu göstərir. Birinci maildən $h$ -ı müəyyən edib ikinci mailin proyeksiyasını hesabla.

Öyrənilməli düstur

h=l\sin\varphi,\qquad \sin\varphi=\frac{h}{l}

Mailin uzunluğu $l$ , onun müstəvi ilə bucağı $\varphi$ , başlanğıc nöqtəsinin müstəviyə məsafəsi $h$ olduqda bu kəmiyyətlər düzbucaqlı üçbucaqda əlaqələnir. Ortaq başlanğıclı maillər üçün $h$ eynidir; əvvəl hipotenuzdan $h$ -ı, sonra katet üçün bucağın sinusunu hesabla.

Öyrənilməli düstur

\cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Tilin bir nöqtəsindən üzlərin daxilinə çəkilən perpendikulyar şüalar ikiüzlü bucağın xətti bucağını verir. Həmin şüalardakı parçaların uzunluqları $a,b$ , uclarını birləşdirən parçanın uzunluğu $c$ olduqda $\theta$ xətti bucağını kosinuslar teoremi ilə müəyyən et.

Öyrənilməli düstur

l^2=h^2+p^2

Mailin uzunluğu $l$ , proyeksiyasının uzunluğu $p$ , perpendikulyarın uzunluğu $h$ olduqda onlar düzbucaqlı üçbucaq yaradır. Əvvəl verilmiş mailin proyeksiyasını hesabla, sonra onun yarısını yeni proyeksiya götürərək axtarılan mailə eyni düsturu tətbiq et.

Öyrənilməli düstur

\cos\varphi=\frac{p}{l}

Eyni başlanğıcdan bir müstəviyə çəkilən iki mailin proyeksiyaları bərabərdirsə, uzunluqları da bərabər alınır. Diaqonalın yarısı olan $p$ proyeksiyasını və $l$ mail uzunluğunu tapıb mail ilə müstəvi arasındakı $\varphi$ bucağının kosinusunu hesabla.

Öyrənilməli qayda

Mail ilə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün mailin öz ortoqonal proyeksiyası ilə yaratdığı bucağa bax. Burada proyeksiya düzbucaqlının diaqonalının yarısıdır; onu perpendikulyarla müqayisə edib alınan düzbucaqlı üçbucağın iti bucağını müəyyən et.

Öyrənilməli qayda

Çarpaz xətlərin istiqamətlərini paralel köçürmə ilə bir nöqtədə birləşdirib aralarındakı kiçik bucağı ölç. Kubda uyğun paralel üz diaqonalını seçdikdən sonra eyni uzunluqlu üz diaqonallarının yaratdığı üçbucağın bucaqlarından istifadə et.

Perpendikulyar, proyeksiya, mail

Perpendikulyarı və proyeksiyanı dəyiş, mailin uzunluğuna və bucağına bax. $\theta$ mail ilə proyeksiya arasındakı bucaqdır.

Nümunələr

PH\perp\alpha

H,A,B\in\alpha

PA=10

HA=6

PB=\sqrt{85}

olsun.

HB

-ni tap. Əvvəl

PH^2=100-36=64

, sonra

HB=\sqrt{85-64}=\sqrt{21}

alırsan.

Hipotenuzu $12$ olan düzbucaqlı üçbucağın təpələrindən $10$ məsafədəki nöqtənin müstəviyə məsafəsini tap. Proyeksiya hipotenuzun ortasıdır: $R=6$ , deməli, $d=\sqrt{100-36}=8$ .

$60^\circ$ bucaq altında kəsişən müstəvilərdən birindəki nöqtə kəsişmə xəttindən $4$ sm uzaqdadır. Digər müstəviyə məsafəni tap: $d=4\sin60^\circ=2\sqrt3$ sm.

PH\perp\alpha

PH=5

\alpha

müstəvisindəki

a

xətti

H

-dan

12

məsafədədir:

HA\perp a

A\in a

HA=12

P

nöqtəsindən

a

xəttinə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

$HA$ parçası $PA$ mailinin proyeksiyasıdır və $HA\perp a$ verilib.
Üç perpendikulyar teoreminə görə $PA\perp a$ olur. Deməli, axtarılan məsafə $PA$ parçasıdır.
$PHA$ üçbucağında $H$ bucağı düzdür: $PA^2=PH^2+HA^2=25+144=169$ .
$PA=\sqrt{169}=13$ .

$13$

Tipik səhv

Nöqtədən müstəviyə məsafə: $PA=10$ (mailin uzunluğu).

Məsafə perpendikulyarla ölçülür: $PH=\sqrt{PA^2-HA^2}=\sqrt{100-36}=8$ , bucaq isə $A$ nöqtəsində, proyeksiyanın yanındadır: $\sin\theta=PH/PA=0,8$ .

Mail həmişə perpendikulyardan uzundur, ona görə onu məsafə kimi götürmə. Xəttlə müstəvinin bucağını mail ilə proyeksiyanın arasında, proyeksiyanın yanında işarələ, $P$ nöqtəsindəki bucaqla qarışdırma.

İkiüzlü bucaq kor da ola bilər. Amma müstəvilər arasındakı bucaq soruşulanda kiçik bucağı seç.

Özünü yoxla

$PH\perp\alpha$ , $H,A,B\in\alpha$ , $HA=4$ , $HB=9$ verilib. $PA$ və $PB$ maillərinin uzunluqlarını müqayisə et.

$PH\perp\alpha$ , $H,A\in\alpha$ , $PH=9$ , $PA=18$ verilib. $PA$ maili ilə $\alpha$ müstəvisi arasındakı bucağı tap.

İki kəsişən müstəvinin əmələ gətirdiyi ikiüzlü bucaqlardan biri $120^\circ$ -dir. Müstəvilər arasındakı bucağı tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi», səh. 44
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Düz xəttin müstəviyə paralelliyi», səh. 50
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar və maillər», səh. 53
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üç perpendikulyar teoremi», səh. 55
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti. İkiüzlü bucaqlar», səh. 58
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar müstəvilər», səh. 61
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Paralel müstəvilər», səh. 64