Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi: çarpaz düz xətlər niyə kəsişmir

Bu mövzudan sonra müstəvinin nə ilə təyin olunduğunu biləcəksən. Fəzada iki düz xəttin kəsişən, paralel, yoxsa çarpaz olduğunu da ayıra biləcəksən. Paralel düz xətlərin müstəviyə qədər olan hissələrinin uzunluğunu da hesablayacaqsan.

Oxumaq 4 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: üstündən bir yol keçən körpü və onun altından çəpəki keçən başqa yol.

Üçayaqlı taburetin ayaqlarının ucları bir müstəvidə yerləşir. Dördayaqlı stulun isə bəzən bir ayağı döşəməyə toxunmur və stul tıqqıldayaraq yırğalanır. Bunun səbəbi həndəsədir: üç ayağın ucu həmişə bir müstəvidə olur. Dörd ucun bir müstəvidə olması isə şərt deyil.

İndi şəhərdə bir körpü təsəvvür et. Üstündən bir yol keçir, altından isə çəpəki başqa bir yol. Bu iki yol heç vaxt görüşmür, amma paralel də deyil. Planimetriyada belə hal yoxdur, fəzada isə hər addımda rast gəlinir. Bu düz xətlərin adı çarpazdır.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsinin bütün sonrakı mövzuları bu bünövrənin üstündə qurulur. Kəsiklər, perpendikulyarlıq, piramida və prizma məsələləri buna aiddir. Kubda iki düz xəttin necə yerləşdiyini tez görə bilirsənsə, çertyoja baxanda çaşmazsan.

İmtahanda bu mövzunun tapşırıqları qısadır. Amma diqqətsiz oxuyanda asanca səhv cavab seçilir. Burada formuldan çox, düzgün baxmaq lazımdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan üç cür tapşırıq verir. Birincisi, aksiomlara və onların nəticələrinə aid təkliflərdən doğrusunu və ya səhvini seçmək lazımdır. İkincisi, düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti soruşulur: kubda və ya prizmada paralel, kəsişən və çarpaz düz xətləri tanımaq, çarpaz düz xətlər arasındakı bucağı hesablamaq, iki müstəvinin kəsişmə xəttini tapmaq. Üçüncüsü, müstəvini kəsməyən və ya kəsən parçanın uclarından və daxili nöqtəsindən paralel düz xətlər çəkilir və onların müstəviyə qədər olan hissələrindən biri tapılır.

Qayda

Eyni düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtə yalnız bir müstəvi təyin edir. Müstəvini həm də düz xətt və ona aid olmayan nöqtə, iki kəsişən və ya iki müxtəlif paralel düz xətt birqiymətli təyin edir.
Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvidədirsə, bütün düz xətt bu müstəvidədir; iki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar həmin nöqtədən keçən düz xətt boyunca kəsişir. Bu düz xətti çəkmək üçün müstəvilərin iki ortaq nöqtəsini tapmaq kifayətdir.
Fəzada iki düz xətt ya kəsişir, ya paraleldir, ya da çarpazdır: çarpaz düz xətlər kəsişmir, paralel deyil və onlardan keçən müstəvi yoxdur.
Çarpaz $a$ və $b$ arasındakı bucaq $b$ -ni kəsən və $a$ -ya paralel olan düz xətlə $b$ arasındakı bucaqdır; düz xətlər arasındakı bucaq $90^\circ$ -dən böyük olmur.
$A$ , $B$ , $C$ nöqtələrindən keçən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ nöqtələrində kəsirsə və $AC:CB=m:n$ olarsa, $A$ və $B$ bir tərəfdə olduqda $CC_1=\frac{n\times AA_1+m\times BB_1}{m+n}$ ; müxtəlif tərəflərdə olduqda $CC_1=\frac{|n\times AA_1-m\times BB_1|}{m+n}$ .

Kubda düz xətləri tanı

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda $ABCD$ alt üzdür, $A_1$ isə $A$ -nın düz üstündədir. Hər cütün necə yerləşdiyini seç.

Nümunələr

Bir nöqtədən keçən dörd düz xətt verilib, onların heç üçü bir müstəvidə deyil. Hər ikisindən keçən neçə müstəvi var?

Həllə bax

Həlli: hər iki kəsişən düz xətt bir müstəvi təyin edir, ona görə

C_4^2=6

Kubda $BD$ və $A_1B_1$ düz xətləri arasındakı bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: bu düz xətlər çarpazdır, $A_1B_1\parallel AB$ , ona görə bucaq $ABD$ bucağına, yəni kvadratın diaqonalı ilə tərəfi arasındakı $45^\circ$ -yə bərabərdir.

Kubda çarpaz BD və A₁B₁ düz xətlərinin bucağı AB və BD arasındakı ABD bucağına bərabərdir, çünki A₁B₁ və AB paraleldir. — $A_1B_1\parallel AB$ ; axtarılan bucaq $\angle ABD=45^\circ$

Müstəvini kəsməyən $AB$ parçasının uclarından keçən paralel düz xətlərin müstəviyə qədər hissələri 6 və 15-dir. $AC:CB=1:2$ olarsa, $CC_1$ -i tap.

Həllə bax

Həlli: $CC_1=\frac{2\times6+1\times15}{3}=9$ .

AB

parçası

\alpha

müstəvisini kəsir.

C

nöqtəsi

AB

parçasının daxilindədir.

A

C

B

nöqtələrindən keçən paralel düz xətlər müstəvini

A_1

C_1

B_1

nöqtələrində kəsir.

AA_1=3

BB_1=12

və

AC:CB=2:1

olarsa,

CC_1

-i tap.

Həllə bax

$A$ və $B$ müstəvinin müxtəlif tərəflərindədir, ona görə fərqli formulu götürürük.
$m=2$ , $n=1$ : $CC_1=\frac{|1\times3-2\times12|}{2+1}=\frac{|3-24|}{3}$ .
$\frac{21}{3}=7$ .

$CC_1=7$

Tipik səhv

Kubda $AA_1$ və $BC$ paralel deyil, deməli kəsişir.

$AA_1$ düz xətti $BC$ -ni saxlayan $ABCD$ müstəvisini $A$ nöqtəsində kəsir. $A$ isə $BC$ üzərində deyil, deməli $AA_1$ və $BC$ çarpazdır.

Paralel olmayan iki düz xətti kəsişən saymaq səhvdir: fəzada belə düz xətlər çarpaz da ola bilər. Çarpazlığı yoxlamaq üçün düz xətlərdən birinin digərini saxlayan müstəvi ilə ortaq nöqtəsini tap və bu nöqtənin həmin digər düz xətt üzərində olmadığını göstər.

Bucaqda və parçada da eyni diqqət lazımdır. Kor bucaq alınarsa, onun qonşu bucağı götürülür. Parça müstəvini kəsəndə isə hər iki ucun uzunluqları eyni işarə ilə toplanmır: uclar müxtəlif tərəflərdədirsə, ortanın uzunluğu yarımcəm deyil, yarımfərqdir.

Özünü yoxla

Hansı halda verilənlər yalnız bir müstəvi təyin edir?

$a$ və $b$ çarpaz düz xətlərdir. $a$ -ya paralel çəkilmiş $c$ düz xətti $b$ ilə kəsişərkən yaranan bucaqlardan biri $124^\circ$ olur. $a$ və $b$ arasındakı bucağı tap.

$A$ və $B$ nöqtələri $\alpha$ müstəvisinin müxtəlif tərəflərindədir, $C$ isə $AB$ parçasının orta nöqtəsidir. Bu üç nöqtədən keçən paralel düz xətlər müstəvini uyğun olaraq $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ nöqtələrində kəsir. $AA_1=5$ , $BB_1=13$ olarsa, $CC_1$ -i tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını izahlarla həll et və özünü yoxla.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi», səh. 44