Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Stereometriya aksiomları: müstəvini nə təyin edir?

Üç nöqtədən, iki düz xətdən neçə müstəvi keçdiyini sayacaq, iki müstəvinin kəsişmə xəttini tapacaq və paralel düz xətlərlə bağlı parçaları hesablayacaqsan.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta döşəmədə dayanan üçayaqlı ştativ və dördayaqlı taxta stol.

Kafedə dördayaqlı stol yırğalanırsa, ayağının altına kağız qoyursan. Fotoqrafın ştativi isə üç ayaq üzərində qurulur, dörd yox.

Bunun həndəsi tərəfi var: bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtə yeganə müstəvi təyin edir. Üç ayağın dayaq nöqtələri həmişə belə bir müstəvidə yatır. Dörd ayağın dayaq nöqtələri isə eyni müstəvidə olmaya bilər, ona görə dördayaqlı stol hətta düz döşəmədə də yırğalana bilər.

Bir də qapını aç və ona bax. Qapının müstəvisi ilə divarın müstəvisi bir düz xətt üzrə görüşür: həmin xətt rəzələrin xəttidir. Stereometriyanın ilk aksiomları məhz belə şeylər haqqındadır.

Niyə lazımdır

Fəza fiqurları ilə bağlı bütün məsələlər bu aksiomlara söykənir. Piramidanın və ya prizmanın kəsiyini qurmaq, iki üzün hansı düz xətt üzrə kəsişdiyini tapmaq üçün hər dəfə «bu nöqtə hansı müstəvidədir?» sualını verirsən.

İmtahanda bu mövzu adətən qısa tapşırıq olur, amma tələsik oxuyanı tez tutur: bir söz, məsələn «kollinear», cavabı birdən sonsuza dəyişir. Aksiomları dəqiq bilsən, belə tapşırıqları hesablamadan, bir neçə saniyəyə həll edirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların bir qismi «Hansı təklif doğrudur?» və ya «Hansı təklif doğru deyil?» şəklindədir: variantlarda müstəvinin nə ilə təyin olunduğu, iki müstəvinin kəsişməsi, düz xəttin müstəvi üzərində yerləşməsi barədə fikirlər verilir və hər birini aksiomlarla yoxlamaq lazımdır. İkinci qrup hesablama məsələləridir: parçanın uclarından və onun bir nöqtəsindən müstəvini kəsən paralel düz xətlər çəkilir; parçanın ucu müstəvi üzərində ola, parça müstəvini kəsə və ya kəsməyə bilər. Naməlum parça oxşar üçbucaqlarla və ya trapesiyanın orta xətti ilə tapılır. Bəzən verilmiş nöqtələrdən və ya düz xətlərdən neçə müstəvi keçdiyi də soruşulur.

Qayda

Hər müstəvi üçün ona aid olan nöqtələr də, aid olmayan nöqtələr də var.
Ortaq nöqtəsi olan iki müxtəlif müstəvi bir düz xətt üzrə kəsişir; onların bütün ortaq nöqtələri bu xəttin üzərindədir.
Kollinear olmayan üç nöqtədən yeganə müstəvi keçir. Düz xətt və ondan kənarda olan nöqtə, iki kəsişən düz xətt, iki paralel düz xətt də müstəvini yeganə şəkildə təyin edir.
Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvidədirsə, həmin düz xətt bütünlüklə müstəvidədir.
İki nöqtədən, bir düz xətdən və ya kollinear nöqtələrdən sonsuz sayda müstəvi keçir.
Paralel $AA_1$ və $BB_1$ düz xətlərinin müstəvisi $\alpha$ -nı $A_1B_1$ düz xətti üzrə kəsir, ona görə $AB$ -nin nöqtələrindən çəkilən paralellər $\alpha$ -nı $A_1B_1$ üzərində kəsir.

Müstəvini nə təyin edir?
Verilən	Müstəvi sayı
Kollinear olmayan üç nöqtə	Yeganə
Düz xətt və ondan kənar nöqtə	Yeganə
İki kəsişən düz xətt	Yeganə
İki paralel düz xətt	Yeganə
Bir düz xətt və ya kollinear nöqtələr	Sonsuz

Neçə müstəvi keçir?

Hər sualda aksiomu xatırla və bir variant seç.

Nümunələr

Hamısı bir müstəvi üzərində olmayan üç paralel düz xətt verilib. Onların hər ikisindən keçən neçə müstəvi var?

Həllə bax

Həlli: hər cüt paralel düz xətt bir müstəvi təyin edir, üç düz xətt eyni müstəvidə olmadığı üçün bu müstəvilər müxtəlifdir: cəmi 3 müstəvi.

ABCD

trapesiyasının (

AD\parallel BC

) müstəvisindən kənarda

S

nöqtəsi götürülüb.

SAB

və

SCD

müstəvilərinin kəsişmə xəttini tap.

Həllə bax

Həlli: $S$ hər iki müstəviyə aiddir. Trapesiyanın $AB$ və $CD$ yan tərəflərinin davamları $K$ nöqtəsində kəsişir; $K$ həm $AB$ , həm də $CD$ üzərində olduğundan hər iki müstəvidədir. Deməli, axtarılan xətt $SK$ düz xəttidir.

$ABCD$ paraleloqramı $\alpha$ müstəvisini kəsmir; onun təpələrindən keçən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ nöqtələrində kəsir. $AA_1=5$ , $BB_1=8$ , $CC_1=10$ olarsa, $DD_1$ -i tap.

Həllə bax

Həlli: diaqonallar $O$ nöqtəsində yarıya bölünür, ona görə $OO_1=\frac{AA_1+CC_1}{2}=\frac{BB_1+DD_1}{2}$ və $DD_1=5+10-8=7$ .

Tipik səhv

$AA_1=10$ , $BB_1=4$ , $AB$ müstəvini kəsir, ortadan çəkilən parça: $\frac{10+4}{2}=7$ .

$AB$ müstəvini kəsir, deməli fərqin yarısını götürürük: $\frac{10-4}{2}=3$ , $7$ yox.

Paralel düz xətlərlə bağlı məsələlərdə əvvəlcə parçanın müstəvini kəsib-kəsmədiyinə bax: kəsmirsə, ortadan çəkilən parça uclardakı parçaların cəminin yarısına, kəsirsə, fərqinin yarısına bərabərdir.

Ən çox yayılmış digər səhv isə «üç nöqtədən həmişə bir müstəvi keçir» fikridir: nöqtələr kollineardırsa, onlardan sonsuz sayda müstəvi keçir; müstəviləri sayanda isə eyni müstəvidə yatan nöqtələrin üçlükləri cəmi bir müstəvi verir.

Özünü yoxla

$a$ və $b$ müxtəlif düz xətləri $O$ nöqtəsində kəsişir. $a$ üzərində $O$ -dan fərqli $P$ , $b$ üzərində isə $O$ -dan fərqli $Q$ nöqtəsi seçilib. $O$ , $P$ , $Q$ nöqtələrindən neçə müstəvi keçir?

$S$ nöqtəsi $ABC$ üçbucağının müstəvisindən kənardadır. $SAB$ və $SAC$ müstəvilərinin kəsişmə xəttini tap.

$AB$ parçası $\alpha$ müstəvisini kəsir, $M$ isə parçanın ortasıdır. $A$ , $B$ , $M$ nöqtələrindən çəkilən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı uyğun olaraq $A_1$ , $B_1$ , $M_1$ nöqtələrində kəsir. $AA_1=16$ , $MM_1=5$ və $BB_1<AA_1$ olarsa, $BB_1$ -i tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi», səh. 44