Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Fəzada düz xətlərin paralelliyi: kəsişmirsə, hələ paralel deyil

Fəzada iki düz xəttin paralel, kəsişən, yoxsa çarpaz olduğunu ayırmağı və paralel parçaların uzunluğunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş, işıqlı otağın küncü, divarların, tavanın və döşəmənin düz tilləri, kiçik masanın üstündə iki karandaş.

İki karandaş götür. Birini masanın üstünə qoy, o birini isə ondan bir az yuxarıda, masanın səthinə paralel, amma birinci karandaşa çəp istiqamətdə tut. Onları nə qədər uzatsan da, toxunmayacaqlar. Amma bunlara paralel demək olmur, çünki istiqamətləri fərqlidir.

Otağın küncünə bax. Divarların birləşdiyi şaquli xətt ilə qarşı tərəfdəki döşəmə tili heç vaxt görüşmür, yenə də paralel deyil. Dörd şaquli küncün isə hamısı bir-birinə paraleldir. Vərəqdə öyrəndiyin «kəsişmirsə, deməli paraleldir» qaydası burada işləmir. Fəzanın öz qaydaları var, indi onlara baxacağıq.

Niyə lazımdır

Kubda, prizmada və ya piramidada bəzi məsələlərin həlli iki düz xəttin paralel olduğunu göstərməkdən başlayır. Bunu birbaşa görmək çətin olanda üçüncü düz xətt köməyə gəlir: hər ikisi ona paraleldirsə, iş bitdi.

Paralel parçalar isə fəza məsələsini tanış planimetriyaya çevirir. Şəkildə trapesiya və ya oxşar üçbucaqlar görünür, qalanı orta xətt və nisbət hesabıdır. Bu üsul sonra düz xəttin müstəviyə paralelliyində və bucaq məsələlərində də lazım olacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzu üzrə imtahan tapşırıqları iki qrupa bölünür. Birinci qrupda bir neçə təklif verilir və onlardan doğru olanı seçmək lazımdır: fəzada iki düz xəttin paralel, kəsişən və ya çarpaz olması, üçüncü düz xəttə paralel düz xətlər, müstəvini hansı şərtlərin təyin etməsi soruşulur. İkinci qrup hesablama məsələləridir: parçanın ucları və üzərindəki bir nöqtə ilə müstəvi arasında paralel parçalar çəkilir, onlardan birinin uzunluğu və ya parçanın hissələri tapılır. Parça müstəvini kəsməyə də, kəsə də bilər; bəzən onun bir ucu müstəvi üzərində olur. Həmçinin çarpaz düz xətlər arasındakı bucağı onlardan birinə paralel düz xətlə tapmaq lazım gəlir.

Qayda

Bir müstəvidə yerləşən və ortaq nöqtəsi olmayan iki düz xətt paraleldir; ortaq nöqtəsi olmayıb bir müstəvidə yerləşməyənlər çarpazdır.
Düz xəttin xaricindəki nöqtədən ona paralel yalnız bir düz xətt keçir.
Paralellik əlaməti: $a\parallel c$ və $b\parallel c$ olarsa, $a\parallel b$ . Kubda və tetraedrdə bunu üçbucağın və ya trapesiyanın orta xətti ilə birlikdə tətbiq edirik.
Paralel $AA_1$ və $BB_1$ düz xətləri bir müstəvi təyin edir, ona görə $AB$ parçasının nöqtələrindən çəkilmiş paralel parçaların ucları $\alpha$ üzərində bir düz xətt boyunca düzülür.
$A$ ucu $\alpha$ üzərindədirsə: $\frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}$ . Parça $\alpha$ -nı kəsmirsə, orta nöqtə üçün $MM_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}$ ; kəsirsə, $MM_1=\frac{|AA_1-BB_1|}{2}$ .
Paralel düz xətlərdən keçən iki müstəvinin kəsişmə xətti onlara paraleldir; müstəviyə paralel düz xətdən keçən başqa müstəvi onu bu düz xəttə paralel xətt boyunca kəsir.

Orta nöqtədən çəkilən paralel parça
$AB$ -nin vəziyyəti	$MM_1$
$\alpha$ -nı kəsmir	$\dfrac{AA_1+BB_1}{2}$
$\alpha$ -nı kəsir	$\dfrac{\|AA_1-BB_1\|}{2}$

Kubda düz xətləri tanı

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubunda $ABCD$ alt üz, $A_1B_1C_1D_1$ üst üzdür, $A_1$ təpəsi $A$ -nın üstündədir. Düz xətlərin vəziyyətini seç.

Nümunələr

AB

parçası

\alpha

müstəvisini

O

nöqtəsində kəsir,

C\in AB

və

AC:CB=2:3

A

B

C

-dən keçən paralel düz xətlər

\alpha

-nı

A_1

B_1

C_1

nöqtələrində kəsir;

AA_1=12

BB_1=8

CC_1

-i tap.

Həllə bax

Həlli: $AA_1O$ və $BB_1O$ üçbucaqları oxşardır, $AO:OB=3:2$ , yəni $AO=\frac{3}{5}AB$ , $AC=\frac{2}{5}AB$ . $C$ nöqtəsi $A$ ilə $O$ arasındadır: $CO=\frac{1}{3}AO$ , $CC_1=\frac{1}{3}\times12=4$ .

$ABCD$ trapesiyasında $AD\parallel BC$ , $AD=3BC$ , trapesiya $\alpha$ müstəvisini kəsmir. $A$ , $C$ və diaqonalların kəsişmə nöqtəsi $O$ -dan keçən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı $A_1$ , $C_1$ , $O_1$ nöqtələrində kəsir; $AA_1=5$ , $CC_1=13$ . $OO_1$ -i tap.

Həllə bax

Həlli: $AOD$ və $COB$ üçbucaqları oxşardır, $AO:OC=3:1$ . $AA_1C_1C$ trapesiyasında $OO_1=5+\frac{3}{4}(13-5)=11$ .

Kubda $A_1B_1$ ilə $DC$ -nin vəziyyəti necədir?

Həllə bax

Həlli: $A_1B_1\parallel AB$ və $AB\parallel DC$ , deməli $A_1B_1\parallel DC$ .

Kubda A₁B₁ və AB paraleldir, AB və DC paraleldir; buna görə A₁B₁ və DC paraleldir. — $A_1B_1\parallel AB\parallel DC$

Tipik səhv

$AA_1=10$ , $BB_1=4$ , $AB$ parçası $\alpha$ -nı kəsir, deməli $MM_1=\frac{10+4}{2}=7$ .

Uclar müxtəlif tərəflərdədir, ona görə $MM_1=\frac{|10-4|}{2}=3$ .

Ən çox yol verilən səhv parçanın müstəviyə nəzərən vəziyyətinə baxmamaqdır: uclar müxtəlif tərəflərdədirsə, orta nöqtə üçün yarım cəm deyil, yarım fərq götürülür. Nisbət verildikdə onun hansı ucdan sayıldığını yoxla: $AC:CB=2:3$ olarsa, $C$ nöqtəsi $A$ -ya yaxındır. $A$ və $B$ müstəvinin eyni tərəfindədirsə, $CC_1$ də $AA_1$ -ə yaxın olur; parça müstəvini kəsirsə, bu həmişə belə deyil, birinci nümunədə olduğu kimi.

Planimetriyadan gələn «kəsişmirsə, deməli paraleldir» fikri fəzada doğru deyil, çünki çarpaz düz xətlər də kəsişmir. Kor bucağı cavab yazmaq da səhvdir: $120^\circ$ alınarsa, düz xətlər arasındakı bucaq $60^\circ$ -dir.

Özünü yoxla

Fəzada bir-birindən fərqli $a$ , $b$ və $c$ düz xətləri üçün $a\parallel c$ və $b\parallel c$ verilib. $a$ və $b$ haqqında doğru fikri seç.

$A$ nöqtəsi $\alpha$ müstəvisi üzərindədir, $B$ isə bu müstəvidə deyil. $C$ nöqtəsi $AB$ parçasını $AC:CB=3:2$ nisbətində bölür. $B$ və $C$ -dən keçən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı $B_1$ və $C_1$ nöqtələrində kəsir. $BB_1=20$ olarsa, $CC_1$ -i tap.

$A$ və $B$ nöqtələri $\alpha$ müstəvisinin müxtəlif tərəflərindədir, $M$ isə $AB$ parçasının orta nöqtəsidir. Bu üç nöqtədən keçən paralel düz xətlər $\alpha$ -nı uyğun olaraq $A_1$ , $B_1$ , $M_1$ nöqtələrində kəsir. $AA_1=17$ , $MM_1=5$ və $AA_1>BB_1$ olarsa, $BB_1$ -i tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarında özünü sına

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada nöqtə, düz xətt və müstəvi», səh. 44
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Düz xəttin müstəviyə paralelliyi», səh. 50