Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Perpendikulyar və maillər: mailin proyeksiyası və bucağı

Perpendikulyar, mail və proyeksiyadan ikisi verilərkən üçüncüsünü, həm də mailin müstəvi ilə bucağını tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: günəşli gündə düz yerdə şaquli dayanmış taxta dirək və onun yerə düşən uzun kölgəsi.

Günəşli gündə düz yerə şaquli basdırılmış bir dirəyə bax. Dirəyin özü, onun yerdəki kölgəsi və dirəyin başından kölgənin ucuna düşən günəş şüası birlikdə düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. Düz bucaq dirəyin dibindədir.

Həndəsənin dili ilə desək, dirək perpendikulyar, şüa mail, kölgə isə mailin proyeksiyasıdır. Günəş nə qədər alçaqdadırsa, şüa yerlə bir o qədər kiçik bucaq əmələ gətirir, kölgə də bir o qədər uzanır. Səhər və axşam kölgələrin uzun olması elə bundandır.

Bu mövzunun bütün sirri belə üçbucağı görməkdədir. Onu tapdınsa, fəza məsələsi adi müstəvi üçbucaq məsələsinə çevrilir.

Niyə lazımdır

Bu mövzu fəza həndəsəsinin bünövrəsidir. Düzgün piramidanın yan tili oturacaq müstəvisinə çəkilmiş maildir. Onun proyeksiyası hündürlüyün oturacağını həmin tilin oturacaqdakı ucu ilə birləşdirən parçadır. Yan tilin oturacaqla bucağı, konusun doğuranının oturacaqla bucağı da eyni üçbucaqla tapılır.

İmtahanda bu, çox vaxt uzun məsələnin ilk addımı olur. Perpendikulyarın oturacağını düz yerə qoysan, qalanı Pifaqor teoremi və bir triqonometrik nisbətdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxu bir düzbucaqlı üçbucağa gətirilir: perpendikulyar, mail və onun proyeksiyasından ikisi, yaxud biri və bucaq verilir, qalan parça və ya mailin müstəvi ilə əmələ gətirdiyi bucaq soruşulur. Daha mürəkkəb məsələlərdə bir nöqtədən iki mail çəkilir və onların ortaq perpendikulyarı vasitəsilə bir maildən digərinə keçmək lazım gəlir. Bəzən nöqtə çoxbucaqlının bütün təpələrindən eyni məsafədə olur, bəzən maillərin oturacaqları arasındakı məsafə proyeksiyalar arasındakı bucaqla hesablanır. Uyğunluq tapşırıqlarında isə maillərin, proyeksiyaların və bucaqların müqayisəsi yoxlanılır.

Qayda

$A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AO$ perpendikulyarı və $AB$ maili çəkilibsə, $OB$ mailin proyeksiyasıdır və $AOB$ üçbucağında $O$ bucağı düzdür: $AB^2=AO^2+OB^2$ .
Mail ilə müstəvi arasındakı bucaq mail ilə onun proyeksiyası arasındakı $\varphi=\angle ABO$ bucağıdır: $AO=AB\sin\varphi$ , $OB=AB\cos\varphi$ , $\operatorname{tg}\varphi=\frac{AO}{OB}$ .
$AO\perp OB$ , $\varphi=\angle ABO$
Eyni nöqtədən çəkilmiş perpendikulyar istənilən maildən qısadır. Bərabər proyeksiyalı maillər bərabərdir və tərsinə; proyeksiyası daha uzun olan mail daha uzundur və müstəvi ilə daha kiçik bucaq əmələ gətirir.
Nöqtə çoxbucaqlının bütün təpələrindən bərabər uzaqlıqdadırsa, perpendikulyarın oturacağı xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir: $h^2=l^2-R^2$ .

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

l=\sqrt{h^2+p^2}

Müstəviyə MN perpendikulyarı və ME mailin NE proyeksiyası: perpendikulyar h, proyeksiya p, mail l.

$h$ müstəviyə endirilmiş perpendikulyar, $p$ mailin proyeksiyası, $l$ isə mailin uzunluğudur. Burada $MN$ perpendikulyar, $NE$ proyeksiyadır: əvvəl $30^\circ$ -li bucağa görə $MN$ tapılır, sonra $ME$ hesablanır.

Perpendikulyarı və proyeksiyanı dəyiş

$h$ perpendikulyar, $p$ isə mailin proyeksiyasıdır. Sürgüləri tərpət və mailin uzunluğunun, həm də onun müstəvi ilə əmələ gətirdiyi $\varphi$ bucağının necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Müstəvidən 12 məsafədəki

A

nöqtəsindən üç mail çəkilib:

AB=15

AC

müstəvi ilə

60^\circ

-li bucaq əmələ gətirir,

AD

-nin proyeksiyası isə 5-dir. Hansı mail müstəvi ilə ən böyük bucaq əmələ gətirir?

Həllə bax

Həlli: proyeksiyalar $\sqrt{15^2-12^2}=9$ , $12\operatorname{ctg}60^\circ=4\sqrt3$ və 5-dir. Ən qısası $AD$ -nin proyeksiyasıdır, deməli ən böyük bucağı $AD$ əmələ gətirir və bu bucaq $60^\circ$ -dən də böyükdür.

$M$ nöqtəsindən müstəviyə $MA$ və $MB$ mailləri çəkilib: $MA=13$ , onun proyeksiyası 5-dir, $MB$ isə müstəvi ilə $45^\circ$ -li bucaq əmələ gətirir. $MB$ -ni tap.

Həllə bax

Həlli: ortaq perpendikulyar $MO=\sqrt{169-25}=12$ ; $45^\circ$ -də proyeksiya perpendikulyara bərabərdir, ona görə $MB=12\sqrt2$ .

Tərəfi 6 olan düzgün altıbucaqlının təpələrinə $M$ nöqtəsindən çəkilmiş maillər müstəvi ilə eyni $30^\circ$ -li bucaq əmələ gətirir. $M$ -dən müstəviyə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: bucaqlar bərabər olduğundan proyeksiyalar da bərabərdir və perpendikulyarın oturacağı xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. Düzgün altıbucaqlıda $R$ tərəfə bərabərdir: $h=6\operatorname{tg}30^\circ=2\sqrt3$ .

AB

parçasının ucları müstəvinin müxtəlif tərəflərindədir:

A

müstəvidən 3,

B

isə 5 məsafədədir. Parçanın müstəvi üzərindəki proyeksiyası 6-dır.

AB

-ni tap.

Həllə bax

$A$ və $B$ -dən müstəviyə $AA_1=3$ və $BB_1=5$ perpendikulyarlarını endir. $A_1B_1=6$ parçanın proyeksiyasıdır.
$AA_1$ və $BB_1$ eyni müstəviyə perpendikulyar olduğu üçün paraleldir, deməli $A$ , $A_1$ , $B_1$ , $B$ bir müstəvidə yerləşir.
$AA_1$ düz xəttini $A_1$ -dən o tərəfə uzat və $B$ -dən ona $A_1B_1$ -ə paralel $BK$ parçasını çək. $A_1KBB_1$ düzbucaqlıdır: $BK=6$ , $A_1K=5$ .
Uclar müxtəlif tərəflərdə olduğundan məsafələr toplanır: $AK=3+5=8$ .
$AKB$ düzbucaqlı üçbucağında $AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ .

$AB=10$

Tipik səhv

Mail perpendikulyarla $30^\circ$ -li bucaq əmələ gətirir, deməli $\varphi=30^\circ$ və $AO=AB\sin30^\circ$ .

Perpendikulyarla bucaq $\varphi$ -ni $90^\circ$ -yə tamamlayır: $\varphi=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ , ona görə $AO=AB\sin60^\circ$ .

Ən çox rast gəlinən səhv bucaqları qarışdırmaqdır: mail ilə müstəvi arasındakı bucaq mailin proyeksiya ilə əmələ gətirdiyi bucaqdır, perpendikulyarla əmələ gətirdiyi bucaq isə onu $90^\circ$ -yə tamamlayır, ona görə şərtdə bucağın hansı iki xətt arasında verildiyini mütləq yoxla.

Daha iki tələ var: fəzadakı düz bucağın proyeksiyada da düz qaldığını düşünmə, çünki maillər arasındakı bucağı proyeksiyalar arasındakı bucağa həmişə bərabər saymaq olmaz; parça müstəvini kəsəndə uclarının məsafələri toplanır, kəsmədikdə isə çıxılır. Hər məsələdə əvvəlcə perpendikulyarın oturacağını qeyd et və lazım olan düzbucaqlı üçbucaqları ayrıca yaz.

Özünü yoxla

$A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AO$ perpendikulyarı və $AB$ maili çəkilib. $AO=8$ , $AB=17$ olarsa, $OB$ proyeksiyasının uzunluğunu tap.

$A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AO$ perpendikulyarı və $AB$ maili çəkilib. $AO=\frac{AB}{2}$ olarsa, $AB$ mailinin müstəvi ilə əmələ gətirdiyi bucağı tap.

Eyni $A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AB$ və $AC$ mailləri çəkilib, $O$ isə perpendikulyarın oturacağıdır. $OB>OC$ olarsa, düzgün müqayisəni seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar və maillər», səh. 53