Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Üç perpendikulyar teoremi: nöqtədən düz xəttə qədər məsafə

Fəzadakı nöqtədən müstəvidəki düz xəttə qədər məsafəni üç perpendikulyar teoremi ilə tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 4 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: düz meydançada şaquli dirək və onun yanından keçən düz səki.

Düz meydançada şaquli dirək dayanıb, yanından isə düz bir səki keçir. Dirəyin başından səkiyə ən qısa ip çəkmək istəyirsən. İpi səkinin hansı nöqtəsinə bağlamalısan?

Cavab belədir: səkinin dirəyin dibinə ən yaxın nöqtəsinə. Yəni əvvəl yerdə dirəyin dibindən səkiyə perpendikulyar çəkirsən, ipi də bu perpendikulyarın ucuna bağlayırsan. Onda ip özü də səkiyə perpendikulyar olur.

Bu, təsadüf deyil, üç perpendikulyar teoremidir. Teorem fəzadakı çətin görünən məsafəni müstəvidəki adi düzbucaqlı üçbucağa çevirir, qalanını isə Pifaqor teoremi həll edir.

Niyə lazımdır

Stereometriyada məsafə və bucaq tapşırıqlarının çoxu eyni addıma gəlib çıxır: fəzadakı parçanın düz xəttə perpendikulyar olduğunu sübut etmək lazımdır. Bunu birbaşa görmək çətindir, amma proyeksiyaya baxanda hər şey müstəvidə, tanış fiqurun içində olur. Yəni hündürlük, median və daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu kimi tanış uzunluqlar burada yenə işə yarayır.

Piramidalarda və ikiüzlü bucaqlarda da eyni fikir lazım olacaq. Bu teoremi indi yaxşı mənimsəsən, sonrakı mövzularda çertyoj sənə qorxulu görünməyəcək.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzunun tapşırıqlarında adətən üçbucağın, kvadratın, düzbucaqlının, rombun və ya düzgün altıbucaqlının təpəsindən, bəzən də mərkəzindən onun müstəvisinə perpendikulyar qaldırılır. Sonra ya bucaq soruşulur (məsələn, $BD$ perpendikulyarı və $\angle ACB=90^\circ$ verilir, $\angle ACD$ tapılır), ya perpendikulyarın ucundan tərəfə, hipotenuza və ya diaqonala qədər məsafə, ya da belə yaranan üçbucağın sahəsi. Başqa bir qrup tapşırıqda nöqtə çoxbucaqlının bütün tərəflərindən bərabər uzaqlıqda olur və ondan müstəviyə qədər məsafə hesablanır. Hamısında mail, proyeksiya və Pifaqor teoremi birlikdə işlədilir.

Qayda

$AB\perp\alpha$ , $AC$ — mail, $BC$ — onun proyeksiyası, $m$ düz xətti isə $\alpha$ üzərindədir və $C$ -dən keçir.
Teorem: $m\perp BC$ olarsa, $m\perp AC$ .
Tərs teorem: $m\perp AC$ olarsa, $m\perp BC$ .
$K$ nöqtəsindən müstəvidəki $l$ düz xəttinə qədər məsafə: $K$ -nın proyeksiyası $O$ -dan $l$ -ə $OH$ perpendikulyarını çəkirik, onda $KH\perp l$ və $KH=\sqrt{KO^2+OH^2}$ .
Nöqtə çoxbucaqlının bütün tərəflərindən bərabər məsafədədirsə və proyeksiyası onun daxilindədirsə, bu proyeksiya daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir: $d=\sqrt{h^2+r^2}$ ( $d$ — nöqtədən tərəflərə qədər məsafə, $h$ — müstəviyə qədər məsafə, $r$ — radius).

Üç perpendikulyar teoremi
Verilən	Nəticə
$AB\perp\alpha$ , $AC$ mail, $BC$ proyeksiya, $m\subset\alpha$ , $C\in m$ , $m\perp BC$	$m\perp AC$
$AB\perp\alpha$ , $AC$ mail, $BC$ proyeksiya, $m\subset\alpha$ , $C\in m$ , $m\perp AC$	$m\perp BC$

Məsafəni özün tap

Hər sualda əvvəl müstəvidəki perpendikulyarı tap, sonra Pifaqor teoremini tətbiq et. Cavabı ədədlə yaz.

Nümunələr

ABCD

kvadratının tərəfi

6

-dır,

A

təpəsindən müstəviyə

AK=8

perpendikulyarı qaldırılıb.

K

-dan

BC

düz xəttinə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: $AB\perp BC$ , deməli $KB\perp BC$ və məsafə $KB=\sqrt{8^2+6^2}=10$ .

$ABC$ üçbucağında $AB=AC=5$ , $BC=8$ , $A$ təpəsindən $AK=4$ perpendikulyarı qaldırılıb. $K$ -dan $BC$ -yə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: bərabəryanlı üçbucaqda $AH$ hündürlüyü həm də mediandır, yəni $H$ — $BC$ -nin orta nöqtəsidir və $BH=\frac{BC}{2}=4$ . Onda $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ , $KH\perp BC$ , ona görə $KH=\sqrt{AK^2+AH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ .

KAH kəsiyində AK = 4 perpendikulyar, AH = 3 proyeksiya, KH = 5 isə K nöqtəsindən BC düz xəttinə məsafədir. — $AH\perp BC$ olduğundan $KH\perp BC$ ; $KH=5$

Oturacaqları $6$ və $24$ , yan tərəfləri $15$ olan bərabəryanlı trapesiyanın müstəvisindən $8$ məsafədə yerləşən $M$ nöqtəsi trapesiyanın bütün tərəflərindən bərabər uzaqlıqdadır (proyeksiyası trapesiyanın daxilindədir). Bu uzaqlığı tap.

Həllə bax

Həlli: $6+24=15+15$ , deməli trapesiyaya çevrə daxil etmək olar və bu çevrənin diametri trapesiyanın hündürlüyünə bərabərdir. Hündürlük $\sqrt{15^2-\left(\frac{24-6}{2}\right)^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ , onda $r=6$ və $d=\sqrt{8^2+6^2}=10$ .

Tipik səhv

$ABCD$ kvadratında $AK\perp(ABC)$ . $K$ -dan $BD$ diaqonalına qədər məsafə: $KB=\sqrt{AK^2+AB^2}$ .

$O$ diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir, $AO\perp BD$ , deməli $KO\perp BD$ və məsafə $KO=\sqrt{AK^2+AO^2}$ .

Ən çox rast gəlinən səhv perpendikulyarın ucunu düz xəttin ixtiyari nöqtəsi ilə birləşdirib, məsələn, $KB$ və ya $KC$ mailini məsafə saymaqdır. Məsafə yalnız müstəvidə çəkilmiş $OH\perp l$ perpendikulyarının oturacağına qədər ölçülür. Ona görə əvvəl $OH$ -ı tap, sonra $KH$ -ı hesabla.

Daha üç məqama diqqət et. Düzbucaqlının mərkəzindən tərəfə qədər məsafə həmin tərəfin deyil, qonşu tərəfin yarısıdır. «Tərəflərdən bərabər uzaqlıqda» şərtini «təpələrdən bərabər uzaqlıqda» ilə qarışdırma: birincidə daxilə, ikincidə xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu lazımdır. Nəhayət, teoremdəki düz xətt müstəvi üzərində yerləşməlidir.

Özünü yoxla

$AB\perp\alpha$ , $AC$ mail, $BC$ isə onun proyeksiyasıdır. $\alpha$ müstəvisində $C$ -dən keçən $m$ düz xətti üçün $m\perp AC$ verilib. $m$ ilə $BC$ arasındakı bucağı tap.

$KO\perp\alpha$ , $KO=9$ və $l\subset\alpha$ verilib. $O$ -dan $l$ düz xəttinə çəkilmiş $OH$ perpendikulyarının uzunluğu $12$ -dir. $K$ -dan $l$ -ə qədər məsafəni tap.

$ABC$ üçbucağına daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu $7$ -dir. $K$ nöqtəsi üçbucağın bütün tərəflərindən $25$ məsafədədir və onun bu müstəvi üzərindəki proyeksiyası üçbucağın daxilindədir. $K$ -dan üçbucağın müstəvisinə qədər məsafəni tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üç perpendikulyar teoremi», səh. 55