Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

İki müstəvi arasındakı bucaq: xətti bucaq, məsafə və proyeksiya

Xətti bucağı qurmağı, müstəvilər arasındakı bucağı, məsafələri və proyeksiyanın sahəsini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə geniş açılmış notbuk yandan görünür, ekranla klaviatura arasındakı bucaq və şarnir aydın seçilir.

Notbukun qapağını aç. Ekranla klaviatura arasında bucaq yaranır, amma bu, iki xəttin yox, iki müstəvinin bucağıdır. Onların kəsişmə xətti qapağın şarniridir.

Bəs bu bucağı necə ölçəsən? Transportiri şarnirə çəp qoysan, başqa rəqəm alarsan. Düzgün ölçmək üçün həm ekranda, həm klaviaturada şarnirə perpendikulyar bir xətt götürürsən və bucağı bu iki xəttin arasında ölçürsən.

Bir maraqlı məqam da var: ekranı $120^\circ$ açsan, həndəsə müstəvilər arasındakı bucağı $60^\circ$ sayacaq. Bunun səbəbini, bu bucaqla məsafələri və proyeksiyanın sahəsini necə hesablamağı aşağıda görəcəksən.

Niyə lazımdır

Bu mövzu stereometriyanın əsas alətlərindən biridir. Piramidanın yan üzü ilə oturacağı arasındakı bucaq da məhz xətti bucaqla tapılır. Maili damın yuxarıdan baxanda tutduğu sahə öz sahəsindən kiçikdir və onu $S\cos\varphi$ düsturu verir.

İmtahanda bir neçə sadə fikir təkrar-təkrar işləyir: sinus məsafəni, kosinus proyeksiyanı verir. Hansının harada işlədiyini ayırsan, tapşırıqların çoxu bir-iki sətirdə həll olunur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan əsasən hesablama tapşırıqları verir. Bir qrupda nöqtə hər iki müstəvidən eyni məsafədədir: bu məsafə və nöqtədən kəsişmə xəttinə qədər məsafə verilir, müstəvilər arasındakı bucaq soruşulur, ya da əksinə. Başqa qrupda nöqtə müstəvilərdən birinin üzərində olur və onun kəsişmə xəttinə, digər müstəviyə qədər məsafələri bucaqla əlaqələndirilir. Tez-tez üçbucağın, düzbucaqlının və ya kvadratın tərəfindən keçən və onun müstəvisi ilə verilmiş bucaq əmələ gətirən müstəvi götürülür: qarşı təpənin bu müstəvidən məsafəsi, tərəfin uzunluğu və ya bucaq tapılır. Ortoqonal proyeksiyanın sahəsinə və xətti bucağın ölçüsünə aid sadə suallar da olur.

Qayda

Kəsişən iki müstəvi dörd ikiüzlü bucaq yaradır: ikisi $\varphi$ , ikisi $180^\circ-\varphi$ . Müstəvilər arasındakı bucaq bunların kiçiyidir, yəni $0^\circ<\varphi\le90^\circ$ .
Bucağı ölçmək üçün kəsişmə xəttinin bir nöqtəsindən hər müstəvidə bu xəttə perpendikulyar şüa çəkilir; şüalar arasındakı bucaq xətti bucaqdır. Çox vaxt onu üç perpendikulyar teoremi ilə qururuq: $AD\perp(ABC)$ və $AH\perp BC$ olarsa, $DH\perp BC$ və axtarılan bucaq $\angle DHA$ -dır.
Müstəvilərdən birində kəsişmə xəttindən $m$ məsafədə olan nöqtə digər müstəvidən $m\sin\varphi$ məsafədədir.
Hər iki müstəvidən eyni $d$ məsafədə olan nöqtə xətti bucağın tənböləni üzərindədir: kəsişmə xəttinə qədər məsafə $L$ olarsa, $d=L\sin\frac{\theta}{2}$ , burada $\theta$ nöqtəni daxilində saxlayan ikiüzlü bucaqdır.
Müstəvi fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsi: $S_{\text{pr}}=S\cos\varphi$ .

Bucağı dəyiş, nəticəyə bax

Müstəvilərdən birində kəsişmə xəttinə perpendikulyar, uzunluğu $m$ olan parça götür. $\varphi$ müstəvilər arasındakı bucaqdır, $s$ isə birinci müstəvidəki fiqurun sahəsidir. Bucağı böyütdükcə məsafənin artdığını, proyeksiyanın isə kiçildiyini görəcəksən.

Nümunələr

Müstəvilərdən birinin üzərindəki nöqtə onların kəsişmə xəttindən

10

, digər müstəvidən

5\sqrt{2}

məsafədədir. Müstəvilər arasındakı bucağı tapın.

Həllə bax

Həlli: $\sin\varphi=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\varphi=45^\circ$ .

Tərəfi $8$ olan kvadratın bir tərəfindən onunla $60^\circ$ -li bucaq əmələ gətirən $\alpha$ müstəvisi keçir. Qarşı tərəf $\alpha$ -dan hansı məsafədədir və kvadratın $\alpha$ üzərindəki proyeksiyasının sahəsi nəyə bərabərdir?

Həllə bax

Həlli: məsafə $8\sin60^\circ=4\sqrt{3}$ , sahə $64\cos60^\circ=32$ .

$ABC$ üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $AC=6$ ; $AD\perp(ABC)$ və $AD=6$ . $DBC$ və $ABC$ müstəviləri arasındakı bucağı tapın.

Həllə bax

Həlli: $AC\perp BC$ , üç perpendikulyar teoreminə görə $DC\perp BC$ , deməli bucaq $\angle DCA$ -dır: $\operatorname{tg}\angle DCA=\frac{6}{6}=1$ , bucaq $45^\circ$ -dir.

DAC kəsiyində AD = AC = 6, AD perpendikulyar AC; DBC və ABC müstəviləri arasındakı bucaq DCA = 45°-dir. — $BC$ -yə perpendikulyar $DAC$ kəsiyi: $\angle DCA=45^\circ$

Nöqtə iki müstəvinin kəsişmə xəttindən

8

, hər iki müstəvidən isə

4\sqrt{3}

məsafədədir. Nöqtəni daxilində saxlayan ikiüzlü bucağı və müstəvilər arasındakı bucağı tap.

Həllə bax

Nöqtə hər iki müstəvidən eyni məsafədədir, deməli xətti bucağın tənböləni üzərindədir: $d=L\sin\frac{\theta}{2}$ .
$\sin\frac{\theta}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , buradan $\frac{\theta}{2}=60^\circ$ , $\theta=120^\circ$ .
Müstəvilər arasındakı bucaq ikiüzlü bucaqların kiçiyidir: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ .

İkiüzlü bucaq $120^\circ$ , müstəvilər arasındakı bucaq $60^\circ$ .

Tipik səhv

Xətti bucaq $120^\circ$ alındı, deməli müstəvilər arasındakı bucaq $120^\circ$ -dir.

Xətti bucaq $120^\circ$ alındı, deməli müstəvilər arasındakı bucaq $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ -dir.

Ən çox yol verilən səhv ikiüzlü bucağı müstəvilər arasındakı bucaqla qarışdırmaqdır. İkinci səhv xətti bucağı düzgün qurmamaqdır: onun tərəfləri kəsişmə xəttinə perpendikulyar olmalıdır, ona görə xarici nöqtəni kəsişmə xəttinin istənilən nöqtəsi ilə deyil, perpendikulyarın oturacağı ilə birləşdiririk.

Bir də sinusla kosinusu qarışdırma: kəsişmə xəttinə perpendikulyar parçanın proyeksiyası kosinusa vurulur, onun ucunun o biri müstəvidən məsafəsi isə sinusa.

Özünü yoxla

İki müstəvinin kəsişmə xəttinin eyni nöqtəsindən hər müstəvidə bu xəttə perpendikulyar bir şüa çəkirsən. Şüalar arasındakı bucaq $140^\circ$ olarsa, müstəvilər arasındakı bucağı tap.

İki müstəvi arasındakı bucaq $30^\circ$ -dir. Birinci müstəvidəki nöqtə ikinci müstəvidən $7$ məsafədədir. Bu nöqtədən müstəvilərin kəsişmə xəttinə qədər məsafəni tap.

Fiqurun müstəvisi ilə onun ortoqonal proyeksiyasının yerləşdiyi müstəvi arasındakı bucaq $60^\circ$ -dir. Proyeksiyanın sahəsi $18$ olarsa, fiqurun sahəsini tap.

Bu mövzunun sınağı

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti. İkiüzlü bucaqlar», səh. 58